11. Оптимальное планирование

11 класс

• Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пирожные. В силу ограниченности емкости склада за день можно приготовить в совокупности не более 700 изделий. Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. Если выпускать только пирожные, за день можно произвести не более 250 штук, пирожков же можно произвести 1000, если при этом не выпускать пирожных. Стоимость пирожного вдвое выше, чем пирожка. Требуется составить дневной план производства, обеспечивающий кондитерскому цеху наибольшую выручку.

Плановые показатели :

• X – дневной план выпуска пирожков;
• Y – дневной план выпуска пирожных.

Ресурсы производства :

• длительность рабочего дня – 8 часов;
• вместимость складского помещения - 700 мест.

X + 4Y ≤ 1000;

X + Y ≤ 700;

X ≥ 0;

Y ≥ 0.

( α )

Перейдем к формализации стратегической цели: получению максимальной выручки.

Составим целевую функцию :

F(x, y) = r (x + 2y)

где r – цена одного пирожка в рублях

Поскольку значение r - константа, то в качестве целевой функции можно принять

F(x, y) = (x + 2y) ( β )

Получить оптимальный план, т.е. решить математическую задачу: найти значения плановых показателей X и Y , удовлетворяющих системе неравенств ( α ), при которых целевая функция ( β ) принимает максимальное значение.

Математическая дисциплина, которая посвящена решению таких задач, называется математическим программированием.

А поскольку в целевую функцию f (x,y) величины X и Y входят линейно (то есть в первой степени), то наша задача относится к разделу этой науки, который называется линейным программированием .

Система неравенств ( α ) представлена на координатной плоскости четырехугольником ABCD и выделена заливкой.

Любая точка четырехугольника является решением системы неравенств . Например, точка с координатами Х=200, Y=100. Ей соответствует значение целевой функции f(200,100)=400.

Но, очевидно, искомым решением является та точка области ABCD , в которой целевая функция максимальна.

Рис. 1. Область поиска оптимального плана

Нахождение точки в которой целевая функция максимальна производится с помощью методов линейного программирования. Эти методы имеются в математическом арсенале MS Excel .

Осуществляется это с помощью средства «Поиск решения». Команда находится в меню Сервис .

Рис.2. Таблица, подготовленная к вычислению оптимального плана

Рис. 3. Начальное состояние формы «Поиск решения»

Рис. 4. Форма «Поиск решения» после ввода информации

Нажать!

Рис. 5. Форма «Параметры поиска решения»

Решение : f(x,y)=800

Рис. 6. Результаты решения задачи ( соответствует точке В рис. 1.)

Рис. 7.

Нажать!

Решение: f(x,y)=600

Рис. 8. Результат решения задачи 2