9.1.Ещё пример задания

По каналу связи передаются сообщения, содержащие только 4 буквы: Е, Н, О, Т. Для кодирования букв Е, Н, О используются 5-битовые кодовые слова: Е - 00000, Н - 00111, О - 11011. Для этого набора кодовых слов выполнено такое свойство: любые два слова из набора отличаются не менее чем в трёх позициях. Это свойство важно для расшифровки сообщений при наличии помех. Какое из перечисленных ниже кодовых слов можно использовать для буквы Т, чтобы указанное свойство выполнялось для всех четырёх кодовых слов?

1) 11111 2) 11100 3) 00011 4) не подходит ни одно из указанных выше слов

Решение:

1. код, рассмотренный в условии задачи, относится к помехоустойчивым кодам, которые позволяют обнаружить и исправить определенное количество ошибок, вызванных помехами при передаче данных;

2. количество позиций, в которых отличаются два кодовых слова одинаковой длины, называется расстоянием Хэмминга

3. код, в котором расстояние Хэмминга между каждой парой кодовых слов равно d, позволяет обнаружить до d-1 ошибок; для исправления r ошибок требуется выполнение условия

d ≥ 2r + 1

поэтому код с d = 3 позволяет обнаружить одну или две ошибки, и исправить одну ошибку.

1. легко проверить, что для заданного кода (Е - 00000, Н - 00111, О - 11011) расстояние Хэмминга равно 3; в таблице выделены отличающиеся биты, их по три в парах Е-Н и Н-О и четыре в паре Е-О:

Е – 00000 Е – 00000 Н – 00111

Н – 00111 О – 11011 О – 11011

1. теперь проверяем расстояние между известными кодами и вариантами ответа; для первого ответа 11111 получаем минимальное расстояние 1 (в паре О-Т), этот вариант не подходит:

Е – 00000 Н – 00111 О – 11011

Т - 11111 Т - 11111 Т - 11111

1. для второго ответа 11100 получаем минимальное расстояние 3 (в парах Е-Т и О-Т):

Е – 00000 Н – 00111 О – 11011

Т - 11100 Т - 11100 Т - 11100

1. для третьего ответа 00011 получаем минимальное расстояние 1 (в паре Н-Т) , этот вариант не подходит:

Е – 00000 Н – 00111 О – 11011

Т - 00011 Т - 00011 Т - 00011

1. таким образом, расстояние Хэмминга, равное 3, сохраняется только для ответа 2

2. Ответ: 2.