Аксиомы планиметрии

ТЕМА 1. АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

I. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и только одну.

II. Из трёх точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

III. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

IV. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

V. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между сторонами этого угла. Градусная мера развёрнутого угла равна 180°.

VI. На любой полупрямой, от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

VII. От любой полупрямой от её начальной точки в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

VIII. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

IX. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

§ 1. Прямая и отрезок.

1. Пересекаются ли отрезки AB и CD?

2. Пересекаются ли прямые AB и CD?

3. Отметьте точку М так, чтобы она лежала на прямой CD, но не лежала ни на отрезке AB, ни на отрезке CD.

4. Отметьте точку N, которая лежит на прямой CD между точками A и B. Как вы назовёте такую точку?

1. Пересекает ли прямая KL отрезок EF?

2. Пересекает ли прямая KL прямую EF?

3. Отметьте точку А, которая лежит на прямой EF, но не лежит на прямой KL.

4. Существуют ли точки, которые одновременно лежат на отрезке EF и прямой LK?

1. Сколько существует различных отрезков с концами в точках A, B, C и D?

2. Пересекаются ли прямые AB и CD?

3. Какая из точек, A или D, лежит между точками B и C?

4. Отметьте точку М, которая лежит на прямой AD, но не лежит на отрезке BC.

5. Проведите прямую, проходящую через точку Е, которая пересекает прямые AB и BC, но не пересекает отрезок AD.

1. Сколько существует различных отрезков с концами в точках E, F, M и N?

2. Пересекаются ли прямые EN и FM?

3. Какая из точек, A или N, лежит между точками E и F?

4. Отметьте точку B, которая лежит на отрезке MN, но не лежит на прямой EF.

5. Проведите прямую, проходящую через точку A, которая пересекает прямые EF и MN, но не пересекает отрезок FM.

1. Начертите две пересекающиеся прямые и расположите на них два отрезка, не имеющие общих точек.

2. Сколько точек надо взять между точками A и B, чтобы вместе с отрезком AB получилось шесть различных отрезков?

3. Даны отрезок AB, точка E, не лежащая на прямой AB, и точка C, лежащая на прямой AB. Каково взаимное расположение прямой EC и отрезка AB?

4. Можно ли провести прямую, не проходящую через точку A, так, чтобы она пересекала одновременно прямые AB, AC и AD.

1. Начертите две пересекающиеся прямые и расположите на них два непересекающиеся отрезка так, чтобы точка пересечения прямых принадлежала одному из них.

2. Проведите прямую, которая пересекает некоторые из указанных на рис. 1 отрезков, так, чтобы вместе с данными отрезками образовалось шесть отрезков.

3. Дана прямая EF, A∉EF, B∉EF. Может ли прямая AB не пересекать отрезок EF?

4. Может ли прямая, не проходящая через точку O, одновременно пересекать прямые OA, OB, OC и OD (рис. 2)?

1. Сколько различных прямых можно провести через 4 точки? Сделайте чертежи.

2. По рисунку определите число отрезков с концами в обозначенных точках.

1. Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекающиеся прямые? Для каждого случая сделайте рисунок.

2. По рисунку определите число отрезков с концами в обозначенных точках.

§ 2. Луч и угол.

1. а) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке?

б) Сколько углов изображено на этом рисунке?

в) Постройте луч ОМ так, чтобы угол АОМ был развёрнутым.

1. Начертите угол. Отметьте точку М, которая лежит на стороне угла, точку N, лежащую во внутренней области угла, и точку Е, принадлежащую его внешней области.

1. а) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке?

б) Сколько углов изображено на этом рисунке?

в) Постройте луч ОА так, чтобы угол АОN был развёрнутым.

1. Начертите угол. Изобразите отрезок: а) все точки которого лежат во внутренней области угла; б) все точки которого лежат во внешней области угла; в) часть точек которого лежит во внутренней области угла.

1. а) Сколько неразвёрнутых и сколько развёрнутых углов изображено на рис. 1?

б) Проведите лучи с началом в точке В, один из которых пересекал бы луч АС, а другой не пересекал бы его.

1. Даны угол MEF и точка А, лежащая в его внутренней области (рис. 2). Проведите луч с началом в точке Е так, чтобы образовались два угла, такие, что точка А не принадлежала бы их внутренним областям.

1. а) Сколько неразвёрнутых и сколько развёрнутых углов изображено на рис. 1?

б) Начертите луч CD, проведите два луча с началом в точке A, один из которых пересекал бы луч CD, а другой не пересекал бы его.

1. Даны угол EKL и точка M, не лежащая в его внутренней области (рис. 2). Проведите из точки К луч так, чтобы образовалось ещё два угла, такие, что точка М не лежала бы в их внутренней области.

1. Сколько неразвёрнутых и сколько развёрнутых углов изображено на рис. 1?

2. С началом в точке Е (рис. 2) проведите лучи, один из которых пересекает луч СА, а другой не пересекает луч ВС. Рассмотрите возможные варианты.

3. Дан неразвёрнутый угол АВС. Проведите лучи с началом в точке В, чтобы образовались при этом шесть углов, из которых один был бы развёрнутым.

1. Сколько неразвёрнутых и сколько развёрнутых углов изображено на рис. 1?

2. С началом в точке Е (рис. 2) проведите лучи, один из которых пересекает луч ВС, а другой не пересекает луч АС. Рассмотрите возможные варианты.

3. Через заданную точку проведите столько прямых, чтобы при их пересечении образовалось шесть углов.

1. Углы AOB, BOC, COD, DOE и EOA имеют общую вершину О. Прямая а, не проходящая через точку О, пересекает не менее двух лучей, которые являются сторонами этих углов. Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте чертежи.

2. Углы MAF, FAK, KAP, PAQ и QAM имеют общую вершину О. Прямая а, не проходящая через точку О, пересекает не менее трёх лучей, которые являются сторонами этих углов. Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте чертежи.

§ 3. Сравнение отрезков и углов.

1. На рис. 1 CB = BE, DE AC. Сравните отрезки AB и DB.

2. На рис. 2 ∠AOB = ∠DOC. Есть ли ещё на рисунке равные углы?

1. На рис. 1 EO = NO, OK OL. Сравните отрезки EK и NL.

2. На рис. 2 ∠MOL = ∠KON. Есть ли ещё на рисунке равные углы?

1. На прямой а от точки А в одном направлении отложены два отрезка АВ и АС (АС АВ). От точки С на этой прямой отложите такой отрезок СЕ, чтобы АС = ВЕ. Что вы можете сказать о длине отрезка СЕ?

2. ∠AOC = ∠BOD, OM – биссектриса ∠АОВ. Докажите, что OM – биссектриса ∠COD.

1. На прямой m от точки А отложены два отрезка так, что АС АВ и точка А лежит между точками В и С. От точки С отложен отрезок СМ так, что ВМ = АС. Сравните отрезки МС и АВ.

2. На рисунке ∠AOC = ∠BOС и ∠AOЕ = ∠BOF. Является ли луч ОС биссектрисой угла EOF?

1. Если на прямой даны точки A, B, C, D (точка С лежит между А и В) так, что AB = CD, то является ли середина отрезка AD также серединой отрезка ВС? Обоснуйте ответ.

2. На рисунке ОВ – луч, принадлежащий внутренней области угла АОС. Как нужно провести луч ОЕ, чтобы ∠AOC = ∠BOЕ? Покажите на рисунках возможные варианты.

1. АВ и АС – отрезки одной прямой (А лежит между точками В и С), точка М – середина отрезка АВ, N – середина АС. Верно ли, что BC = 2MN? Ответ обоснуйте.

2. На рисунке ОС – луч, принадлежащий внутренней области угла АОВ. Как нужно провести луч OD, чтобы ∠AOD = ∠COB? Покажите на рисунке возможные варианты.

1. На прямой а от точки А отложены два отрезка АВ и АС, причём ABAC1,99AB. Сравните отрезки ВС и АВ. Ответ обоснуйте.

2. На рисунке ∠AOC = ∠BOD, OM и ON – биссектрисы углов АОВ и COD. Сравните углы MON и AOC.