Арифметическая и геометрическая прогрессии в решении практических задач (презентация)

«Истинное предназначение математики

заключается не только в решении абстрактных задач,

но и в умении применять на практике,

и только тогда она выполняет свое основное предназначение - как средство познания» .

Ш. Музенитов

Арифметические и геометрические прогрессии

2; 5; 8; 11;14; 17;…

d = 3

3; 9; 27; 81; 243;…

q = 3

– 2; –4; – 6; – 8; …

d = – 2

– 4; –8; –16; –32; …

q = 2

1; 1,8; 2,6; 3,4; 4,2…

d = 0,8

-81; 27; -9; 3; -1; …

q = -1/3

Изучена данная тема, Пройдена теории схема, Вы много новых формул узнали, Задания с прогрессией решали. И вот сегодня на урок Нас поведет красивый лозунг “ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”

• Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед”.

«Истинное предназначение математики

заключается не только в решении абстрактных задач,

но и в умении применять на практике,

и только тогда она выполняет свое основное предназначение - как средство познания» .

Ш. Музенитов

Тема урока

«Арифметическая и

геометрическая прогрессии

в решении практических задач»

Цель урока:

Научиться решать практические задачи с применением формул арифметической и геометрической прогрессий

Прогрессии

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

6

Формулы n–ого члена

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

7

Сумма n первых членов прогрессий

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

8

Истинно или ложно

каждое высказывание

1. В арифметической прогрессии

2,4; 2,6;… разность равна 2.

d = 2,6 – 2,4 = 0,2 высказывание ложно

2. В геометрической прогрессии

0,3; 0,9;… третий член равен 2,7

высказывание истинно

3. 11-ый член арифметической прогрессии, у которой

равен 0,2

высказывание ложно

4. Для нахождения любого члена арифметической прогрессии достаточно знать:

высказывание истинно

5. Последовательность чисел, кратных 5, является

геометрической прогрессией.

высказывание ложно, т.к.

5; 10; 15;… - арифм. прогрессия

6. Последовательность степеней числа 3 является

арифметической прогрессией

высказывание ложно, т.к.

3; 9; 27;…- геометрическая прогрессия

Задача1. Работники получили задание выкопать колодец. За первый выкопанный в глубину метр колодца им платят 50 р, а за каждый следующий – на 20 р больше, чем за предыдущий. Сколько денег (в рублях) заплатят работникам за выкопанный колодец глубиной 12 м.

Дано:

1)

Определите, в задаче арифметическая или геометрическая прогрессия?

(a n ) -

Первые несколько членов прогрессии:

2)

a 1, a 2 , a 3 ,…

Найти:

Разность или знаменатель прогрессии:

Остальные элементы ( a n, S n, n) :

d (в арифметической)=

3)

Необходимые формулы:

или

4)

Какой элемент прогрессии: a 1, a n, S n, n или d (или q)?

q(в геометрической)=

Задача2. Премиальный фонд составляет 16250р. Надо разделить его между четырьмя сотрудниками, согласно доле участия каждого так, чтобы каждый следующий получил в 1,5 раза больше предыдущего. Какую премию получит каждый сотрудник?

Дано:

1)

Определите, в задаче арифметическая или геометрическая прогрессия?

(a n ) -

Первые несколько членов прогрессии:

a 1, a 2 , a 3 ,…

2)

Разность или знаменатель прогрессии:

Найти:

3)

d (в арифметической)=

Необходимые формулы:

Остальные элементы ( a n, S n, n) :

или

4)

Какой элемент прогрессии: a 1, a n, S n, n или d (или q)?

q(в геометрической)=

«Карусель»

№ 1

1)

2)

№ 2

(a n ) - арифметическая прогрессия

№ 3

(a n ) - арифметическая прогрессия

a 1 =5,

3)

d =2,

№ 4

a 1 =1,

n=?

(a n ) - арифметическая прогрессия

4)

d =1,

a 1 =60,

(a n ) - геометрическая прогрессия

a n = a 1 + d ( n-1)

d =-4,

a 1 =2,

a n =14

q= 2,

a n = a 1 + d ( n-1)

a 72 =?

n=12

a n = a 1 + d ( n-1)

n=24x3=72

1)

№ 1

№ 2

(a n ) - арифметическая прогрессия

2)

(a n ) - арифметическая прогрессия

a 1 =5,

3)

№ 3

4)

d =2,

a 1 =1,

(a n ) - арифметическая прогрессия

№ 4

n=?

a 1 =60,

(a n ) - геометрическая прогрессия

d =1,

a 1 =2,

d =-4,

a n = a 1 + d ( n-1)

a n =14

q= 2,

a 72 =?

a n = a 1 + d ( n-1)

a n = a 1 + d ( n-1)

n=12

Отв: 10 дней

n=24x3=72

Отв: 105 брёвен

Отв: 456

Отв: 2 72

Рефлексия

Результатом своей личной работы на уроке считаю, что я …

А . Разобрался в теории.

В. Научился решать задачи. С . Повторил весь ранее изученный материал.

На уроке при решении задач не хватило …

А . Знаний.

B. Времени.  С . Желания.

D. Решал нормально.

Продолжи фразы:

Мне было интересно…

Мне осталось непонятным…

Заполните лист самооценки

Молодцы

Легенда о шахматной доске

• С геометрической последовательностью 1, 2, 4, 8,… связана старинная легенда. Индийский мудрец, придумавший шахматную игру, попросил у раджи за своё изобретение, на первый взгляд, скромное вознаграждение: за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зёрнышко, за вторую – 2, за третью – 4 и т. д. – за каждую следующую клетку вдвое больше, чем за предыдущую. Общее количество зерен, которое попросил изобретатель, равно

• Богатый раджа был потрясен, когда узнал, что он не в состоянии удовлетворить «скромное желание» мудреца. Значение этого выражения равно 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.

Если бы такое число зерен равномерно рассыпать

по всей земной суше, то образовался бы

слой пшеницы толщиной около 9 мм.

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни

приведут.

Удачи!

Задания из сборника для подготовки к итоговой аттестации, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла:

№ 247 Стрелок сделал 30 выстрелов в мишень. За первое попадание ему зачислили 0,75 балла, а за каждое следующее попадание – на 0,5 балла больше, чем за предыдущее. Сколько раз промахнулся стрелок, если он набрал 99,75 балла?

№ 251. В первый день строитель выложил 5 рядов кирпичей. Каждый следующий день он выкладывал на 2 ряда больше, чем в предыдущий день. Сколько дней работал строитель, если всего он выложил 140 рядов?

Задачи «Карусели»

№ 1. Туристы запланировали пройти по реке 140 км. Сколько дней туристы будут в походе, если в первый день прошли 5 км, а в каждый последующий день  они будут проходить расстояние на 2 км  больше, чем в предыдущий.

№ 1

1)

(a n ) - арифметическая прогрессия

2)

a 1 =5,

3)

d =2,

n=?

4)

a n = a 1 + d ( n-1)

Задачи «Карусели»

№ 2. При хранении бревен строевого леса их укладывают, как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 14 бревен?

№ 2

1)

(a n ) - арифметическая прогрессия

2)

a 1 =1,

3)

d =1,

4)

a n =14

a n = a 1 + d ( n-1)

Задачи «Карусели»

№ 3. В январе в городе произошло 60 автомобильных аварий. Благодаря мерам, предпринимаемым дорожными службами, в каждый следующий месяц число аварий становилось на 4 меньше. Сколько, предположительно, за год произойдет ДТП?

№ 3

1)

(a n ) - арифметическая прогрессия

2)

a 1 =60,

3)

d =-4,

4)

n=12

a n = a 1 + d ( n-1)

Задачи «Карусели»

№ 4. Бактерия, попав в организм, до конца 20 минуты делится на две, каждая из которых до конца 20 минуты снова делится на две и т.д. Сколько бактерий будет в организме через сутки?

№ 4

1)

(a n ) - геометрическая прогрессия

2)

a 1 =2,

3)

q= 2,

a 72 =?

4)

n=24x3=72