Число e. Функция y =

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

у

х

Дифференцирование показательной и

логарифмической функций.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пункт 1.

Число e. Функция y = ,

её свойства и график.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

1   у Что общего для всех графиков показательной функции при a 1? Все проходят через точку (0;1). 2. Все имеют горизонтальную асимптоту y = 0. х 1 0 3. Все обращены выпуклостью вниз. 4. Все имеют касательные во всех своих точках. Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина " width="640"

Подготовительная работа.

Графики какой функции показаны на рисунке?

, a 1

у

Что общего для всех

графиков показательной

функции при a 1?

• Все проходят

через точку (0;1).

2. Все имеют

горизонтальную

асимптоту y = 0.

х

1

0

3. Все обращены

выпуклостью вниз.

4. Все имеют касательные во всех своих точках.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Постройте график функции и проведите

касательную в точке x = 0.

Измерьте угол между

касательной и осью x.

у

Постройте графики

функций и .

Проведите касательные

к ним в точке x = 0 .

1

Измерьте угол между

каждой касательной

и осью x.

х

1

0

Сделайте вывод.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Вывод: если основание

показательной функции

увеличивается от 2 до 10, то

угол между касательной

к графику функции в точке

x = 0 и осью абсцисс постепенно

увеличивается от 35 ° до 66,5 ° .

у

1

х

1

у

0

Существует ли основание a,

для которого соответствующий

угол будет равен 45 °?

1

Между какими числами

это значение будет

находиться?

х

1

0

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Основание показательной функции, для которой

касательная, проведённая в точке x = 0 и

образующая с осью абсцисс угол 45°, принято

обозначать буквой e .

е – иррациональное число.

е = 2,7182818284590….

е ≈ 2,7

Лев Толстой в Ясной Поляне (1908).

Фотографический портрет

работы С. М. Прокудина-Горского.

Дата рождения:

28 августа (9 сентября) 1828

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

у

Свойства функции

1. D(f) = (- ∞; + ∞.)

2. Не является ни чётной,

ни нечётной.

1

х

1

3. Возрастает.

4. Не ограничена сверху,

ограничена снизу.

0

5. Не имеет ни наибольшего, на наименьшего значений.

7. E(f) = (0 ; + ∞.)

6. Непрерывна.

9. Дифференцируема.

8. Выпукла вниз.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 1.

Провести касательную к графику функции

в точке x = 1.

Решение:

y = f(a) + f΄(a)(x – a)

2) f(a) = f(1) = e

3) f ΄ (x) = , f ΄ (a) = f ΄ (1) = e

1) a = 1

Ответ: y = ex

y = ex

y = e + e (x – 1)

Пример 2.

Вычислить значение производной функции

в точке x = 3.

Решение:

y ΄ = () ΄ = 4 

y΄(3) = 4  = 4  4

Ответ: 4

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 4.

Исследовать на экстремум и схематически

изобразить график функции .

Решение:

y΄ = ()΄ =  + ()΄ = 2x +

f ΄ (x)

-

+

y΄ = x(x +

+

x

0

- 2

f(x)

у

max

min

e

=

х

0

1

-1

-2

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пункт 2.

Натуральные логарифмы.

Функция y = lnx, её свойства

и график.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Подготовительная работа.

Докажите, что:

Вычислите:

-4

3

-3

-6

Назовите основания данных логарифмов.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Существует ли логарифм по основанию e ?

Если основанием логарифма служит число e , то говорят, что задан натуральный логарифм .

Введено специальное обозначение для

натуральных логарифмов:

( l – логарифм, n – натуральный).

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

y = x

Что можно сказать о графиках функций и ?

Как построить график функции y = lnx?

Свойства функции

1. D(f) = (- ∞; + ∞.)

2. Не является ни чётной,

ни нечётной.

у

3. Возрастает на (0; + ∞) .

4. Не ограничена ни сверху,

ни снизу.

1

5. Не имеет ни наибольшего,

на наименьшего значений.

х

6. Непрерывна.

0

1

7. E(f) = (0 ; + ∞.)

8. Выпукла вверх.

9. Дифференцируема.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

0 справедлива формула:   Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина " width="640"

Для любого значения x 0 справедлива формула:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 1

Вычислить значение производной функции

в точке .

Решение:

Ответ: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 2

Найти производную функции .

Решение:

Ответ: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 3

Найти уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение:

Ответ: .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 4

Вычислить значение производной функции

в точке x = -1.

Решение:

1,5

Ответ:1,5

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 5

Провести касательную к графику функции

в точке x = e.

Решение:

y = f(a) + f΄(a)(x – a)

1) a = e;

2) f(a) = f(e) = lne = 1;

3) f ΄ (x) = ;

f ΄ (a) = f ΄(e) = ;

4) Подставим найденные значения в уравнение

касательной. Получим: y = 1+ .

Ответ: y = .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 6

Исследовать на экстремум функцию

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

0. Значит критических точек нет.       при f ΄ (x) + -   x e 0 f(x) max Ответ: точка максимума; y max =   Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина " width="640"

Решение:

Эта производная существует при всех значениях x 0.

Значит критических точек нет.

при

f ΄ (x)

+

-

x

e

0

f(x)

max

Ответ: точка максимума; y max =

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 7

Исследовать на экстремум функцию .

Решение:

- точка максимума

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

функция не является ни

четной, ни нечетной

функция возрастает на

функция не ограничена ни

сверху, ни снизу

− не существует

функция непрерывная на

функция выпукла вверх на

функция дифференцируема

на

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Завершая параграф, запишем формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функций.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина