Делимость чисел 7класс

Делимость чисел

Делители

Делители числа 36 – это 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Натуральные числа, на которые делится данное число без остатка, называются его делителями.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Любое натуральное число имеет ограниченное число делителей.

Делители. Кратные

54

108

162

216

…

1

2

3

6

9

18

27

54

Натуральное число, которое делится на другое натуральное число без остатка, называют кратным .

Натуральные числа, на которые делится данное число без остатка, называются его делителями.

Простые и составные числа

Натуральное число, имеющее ровно два делителя, называется простым числом .

Число 7 – простое: у него два делителя 1 и 7

Натуральное число, имеющее более двух делителей, называется составным числом .

Натуральные числа

У числа 1 только один натуральный делитель – число 1.

Поэтому 1 и не простое и не составное.

Число 12 – составное: у него более двух делителей, это - 1, 2, 3, 4, 6, 12

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена : в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Решето Эратосфена

Признаки делимости

на 2

последняя цифра числа четная

на 3

сумма цифр числа делится на 3

на 4

на 5

две последние цифры числа нули или образуют число, которое делится на 4

последняя цифра числа 0 или 5

на 6

число делится на 2 и на 3

на 9

сумма цифр делится на 9

на 10

последняя цифра числа 0

на 25

две последние цифры числа 00, 25, 50 или 75

Какие из этих чисел делятся на 10?

100

3300

4005

707

90

9910

40404

10000

111

Какие из этих чисел делятся на 5?

100

3555

4006

707

90

9913

40405

10000

11111

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3 , то и число делится на 3 ; если сумма цифр числа не делится на 3 , то и число не делится на 3 .

4014 ; 40138; 3528 ; 8507; 9327

4014; 40138; 3528; 8507; 9327

4+0+1+4=9 – делится на 3

4+0+1+3+8=16 – не делится на 3

3+5+2+8=18 – делится на 3

8+5+0+7=20 – не делится на 3

9+3+2+7=21 – делится на 3

Признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9 , то и число делится на 9 ; если сумма цифр числа не делится на 9 , то и число не делится на 9 .

1010; 3555 ; 40108; 7307; 927

1010; 3555; 40108; 7307; 927

1+0+1+0=2 – не делится на 9

3+5+5+5=18 – делится на 9

4+0+1+0+8=13 – не делится на 9

7+3+0+7=17 – не делится на 9

9+2+7=18 – делится на 9

Разложение числа на простые множители

Любое составное число может быть представлено в виде произведения простых множителей. Запись составного числа в виде произведения простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Например: 90 = 2 · 3 · 3 · 5.

Разложить на простые множители число 92820.

Решение:

92820=2∙2∙3∙5∙7∙13∙17

330

Разложение на простые множители

×

33

10

×

×

5

2

11

3

Обычно записывают множители в порядке их возрастания:

330 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11

Разложение на простые множители

• Всякое составное число можно разложить на простые множители.

2) При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

3) При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.

Разложение на простые множители

1260

2

2

3400

630

2

1700

2

315

3

850

2

3

105

425

5

5

35

85

5

7

7

17

17

1

1

1260 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

3400 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 17

Наибольший общий делитель (НОД)

Среди запасов белки на зиму имеется 45 орехов и 60 белых грибов. Какое наибольшее число одинаковых сухих пайков можно составить, если использовать все эти грибы и орехи?

Делители 60:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60

Общие делители:

Делители 45:

1; 3; 5; 9; 15; 45

1; 3; 5; 15

15 − наибольший общий делитель

Алгоритм нахождения НОД

2

3400

1260

2

Алгоритм вычисления НОД:

Найти НОД(1260; 3400)

• Разложить на простые множители данные числа

1260 = 2 · 2 · 3 · 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

3400 = 2 · 2 · 2 · 5 ∙ 5 ∙ 17

• отметить одинаковые простые множители;
• найти произведение отмеченных простых множителей.

1700

2

630

2

850

2

315

3

425

5

3

105

85

5

35

5

17

17

7

7

1

1

НОД(1260; 3400) = 2∙2∙5 = 20

НОД

Одинаковых простых множителей у рассматриваемых чисел может и не быть.

Например: 12 = 2 · 2 · 3; 55 = 5 · 11.

Значит НОД(12; 55) = 1.

Такие числа называются взаимно простыми.

Делители 55:

1; 5; 11; 55

Делители 42:

1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42

Общие делители:

- НОД(55; 42)

1

Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Женя проезжает круговую дистанцию на мотоцикле за 75 секунд, а Валя – за 60 секунд. Какое наименьшее время им потребуется, чтобы они поравнялись на финише?

Кратные 75:

75; 150; 225; 300; 375; 450; 525; 600; …

Кратные 60:

60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; 480; 540; 600; …

Общие кратные:

300; 600; 900; 1200; …

− наименьшее общее кратное

НОК

Если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

Кратные 12:

12; 24; 36; 48; 60; 72; …

Кратные 15:

15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; …

Кратные 20:

20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; …

Кратные 60:

60; 120; 180; 240; 300; 360; …

НОК(12; 15; 20; 60) = 60

Если НОД( а; b) = 1, то НОК( а; b) = а · b.

Также, НОК( а; b) · НОД( а; b) = а · b.

Алгоритм нахождения НОК

Алгоритм вычисления НОК:

Найти НОК( 75; 60)

• Разложить на простые множители данные числа

75 = 3 · 5 · 5;

60 = 2 · 2 · 3 · 5

• отметить одинаковые простые множители;
• записать произведение всех простых множителей одного из чисел и всех неотмеченных множителей второго числа.

2

60

75

3

30

2

5

25

3

15

5

5

5

5

1

1

НОК( 75; 60) = 3 · 5 · 5 ∙ 2 ∙ 2 = 300

Деление с остатком

В том случае, если одно натуральное число не делится на другое, можно выполнить деление с остатком.

Пусть, например, нужно разделить 325 на 4.

Действие записывают так: 325 : 4 = 81 (1 остаток).

Окончательный результат деления с остатком числа 325 на 4 записывается так: 325 = 4 · 81 + 1

  Делимое = Делитель ⋅ Неполное Частное + Остаток

Вопросы по теме «Делимость чисел»

• Какое число называется делителем натурального числа?
• Какое число называется кратным натурального числа?
• Признаки делимости натуральных чисел.
• Какие натуральные числа называются простыми? составными?
• Алгоритм разложения натуральных чисел на простые множители.
• Алгоритм вычисления НОД.
• Какие натуральные числа называются взаимно простыми?
• Алгоритм вычисления НОК.
• Деление натуральных чисел с остатком.

Задания по теме «Делимость»

• Что такое делитель натурального числа? Найти все делители числа 48.
• Перечислить основные признаки делимости. Назвать признак делимости на 15, 45, 18, 36.
• Что такое кратное натурального числа? Найти три кратных для числа 13.
• Какие числа называются простыми? составными? Какое число не является ни простым, ни составным? Разложить на простые множители число 9999 .

Задания по теме «Делимость»

• Найти НОД(425; 170). Найти НОК(300; 170).
• Какие числа называются взаимно простыми? Привести пример.
• Объяснить, что такое деление с остатком? Выполнить деление с остатком 759 : 4 . Записать окончательный результат вычисления.

Ответы к заданиям по теме «Делимость»

Задания

Задания

ответы

4

4

ответы

9999=3

5

5

7

85

7

85

5100

5100

759=4

После изучения темы и разбора основных вопросов выполни тест- http:// onlinetestpad.com/t/4d0b88dca4454608a4813e4f3ea45c26 «Делимость чисел»