Движение точки под действием центральных сил

Задание по теме «Движение точки под действием центральных сил»

Движение точки под действием центральных сил. Действующая на движущуюся материальную точку или тело сила называется центральной, если линия ее действия проходит через одну и ту же неподвижную точку. В качестве таких сил можно использовать силы притяжения, электростатического взаимодействия.

Под действием центральных сил движутся многие объекты, представляющие интерес для исследования (например, электроны вокруг ядра атома, планеты в Солнечной системе). Решение подобных практически важных прикладных задач целенаправленно формирует в сознании студента убеждение в том, что вычислительная техника является точным и мощным инструментом, многократно усиливающим интеллектуальный и творческий потенциал исследователя. Космический корабль массой m движется из положения с координатами x₀ , y₀ с начальной скоростью ϑ₀ под действием силы притяжения F, направленной к неподвижному центру.

y

y_m m



М

x_m x

Требуется определить координаты и компоненты вектора скорости космического корабля вблизи планеты как функции времени, а также траекторию его движения. Масса, начальное положение и начальная скорость корабля известны.

Математическая постановка задачи

Найти решение задачи Коши для следующей системы уравнений движения космического корабля:

при начальных условиях x(0)=x₀,, y(0)=y₀, ϑ_x(0)₌ ϑ_x0, ϑ_y(0)₌ ϑ_y0,

Требуется определить координаты и компоненты вектора скорости космического корабля как функции времени, а также траекторию его движения.

Строятся разностные уравнения движения космического корабля:

Задается шаг интегрирования ∆ t = 0,01 с и проводятся расчеты при следующих данных: М = 6⋅10²⁴ кг (масса Земли), космический корабль находится в начальной точке с координатами x(0) = 0 м, y(0) = 6,4⋅10⁶ м, G = 6,672⋅10^-11Н⋅м²/кг² – гравитационная постоянная. Начальная скорость направлена по горизонтали вправо.

1. Определить координаты и компоненты вектора скорости космического корабля вблизи планеты как функции времени, а также траекторию его движения при начальной скорости 7600 м/с и 11000 м/с. Остальные параметры расчетов неизменны.

В начальный момент времени t=0, x(0) = 0 м, y(0) = 6,4⋅10⁶ м, G = 6,672⋅10^-11Н⋅м²/кг²

7600 м/с