Электронная презентация урока на тему "Системы счисления в компьютере"

Системы счисления, используемые в компьютере

ЕАДК. Преподаватель информатики: Неверова И.Ю.

ПЛАН:

• Понятие системы счисления, её виды.
• Непозиционные системы счисления
• Позиционные системы счисления

• Десятичная система счисления Двоичная система счисления Восьмеричная система счисления Шестнадцатеричная система счисления
• Десятичная система счисления
• Двоичная система счисления
• Восьмеричная система счисления
• Шестнадцатеричная система счисления

• Проверочная работа по теме «Представление информации»
• Решение задач
• Домашнее задание

Литература:

• Е.А. Колмыкова. Информатика, с. 30 – 32.
• П.П. Беленький. Информатика, с. 15 – 17.

Системы счисления

Первые попытки облегчить процесс вычислений человечество предприняло уже в самом начале своей сознательной деятельности.

Сначала выполнялся "счёт на пальцах", затем на смену пальцам пришли палочки, косточки на проволоке (счёты), а позже более удобные для вычислений счётные механизмы, механические счётные машинки и т. д.

Можно назвать десятки имён конструкторов таких механических приспособлений для облегчения счёта и наименований самих устройств, от арифмометра "Феликс" до современных ЭВМ.

История возникновения и развития систем счисления

Пятеричная система счисления

По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидна связь этой системы счисления со строением человеческой руки .

В алфавите 5 цифр: от 0 до 4 (0, 1, 2, 3, 4)

Системы счисления анатомического происхождения

Десятичная система счисления

Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит . В том языке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр — от 0 до 9.

Это десятичная система счисления. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук — вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторических времен.

Системы счисления анатомического происхождения

Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Исторически десятичная система счисления сложилась и развивалась в Индии. Европейцы заимствовали индийскую тему счисления у арабов, назвав ее арабской, а исторически неправильное название удерживается и поныне. Возникновение и развитие десятичной системы счисления явилось одним из важнейших достижении человеческой мысли (наряду с появлением письменности). Однако десятичной системой счисления люди пользовались не всегда. В разные исторические периоды многие народы использовали другие системы счисления.

Системы счисления анатомического происхождения

Двенадцатеричная система счисления

Довольно широкое распространение имела

двенадцатеричная система счисления.

Происхождение тоже связано со счетом на пальцах.

Считали большой палец руки и фаланги

остальных четырех пальцев : всего их 12 (см. рис).

Элементы двенадцатеричной системы счисления

сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам)

и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).

В алфавите должно быть 12 цифр, т.к. цифр всего 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то недостающий обозначают латинскими заглавными буквами A, B.

• В сутках две дюжины часов
• Час делится на пять дюжин минут

• Столовые сервизы на 6

или 12 персон

• Набор карандашей или

фломастеров на 6, 12 и т.д.

История возникновения и развития систем счисления

Шестидесятеричная система счисления

Особый интерес представляет так называемая "вавилонская", или шестидесятеричная система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне.

Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся.

Существуют две гипотезы .

Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое — десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса.

Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например: 1 час = 60 минутам, 1° = 60‘.

В целом шестидесятеричная система счисления громоздка.

История возникновения и развития систем счисления

Римская система счисления

Эта система счисления появилась в Древнем

Риме. Запись чисел в римской системе

счисления показана на рисунке. Первые 12 натуральных чисел в римской системе счисления записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII .

Примеры записи чисел: XXVIII -28, MCMXXXV – 1935. Трудность выполнения арифметических действий с этими числами иллюстрируется. По этой причине в настоящее время Римская система счисления используется там, где это удобно в литературе (нумерация глав), в оформлении документах (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях – на циферблате часов и в ряде других случаях.

Попробуй посчитать! Легко ли получить результат арифметических действий в римской системе счисления?

История возникновения и развития систем счисления

Славянская системы счисления

Алфавитные системы счисления представляют

особую группу. В них для записи чисел

использовался буквенный алфавит.

Примером алфавитной системы счисления

является славянская .

У одних славянских народов числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита, у других, в частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите.

Над буквой, обозначающей цифру, ставился специальный знак — "титло".

Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах.

Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, грузин, греков (ионическая система счисления), арабов, евреев и других народов Ближнего Востока.

Системы счисления

Система счисления – это математическая модель или знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью цифр.

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр .

• Числа: 123, 45678, 1010011, CXL Цифры : 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
• Числа: 123, 45678, 1010011, CXL
• Цифры : 0, 1, 2, … I, V, X, L, …
• Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Типы систем счисления :

• непозиционные позиционные
• непозиционные
• позиционные

Непозиционная система счисления

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.

Примеры непозиционных систем счисления : унарная (единичная) система счисления, римская система счисления, алфавитная система счисления.

Унарная (единичная) система счисления характеризуется тем, что в ней для записи чисел применяется только один вид знаков – палочка. Каждое число в этой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы счисления очевидны: это громоздкость записи больших чисел, значение числа сразу не видно, чтобы его получить, нужно сосчитать палочки.

Непозиционные системы

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

Римская: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев) , X – 10 (две ладони) , L – 50, C – 100 ( Centum ) , D – 500 ( Demimille ) , M – 1000 ( Mille )

Римская система счисления

В римской системе счисления для обозначения чисел используются заглавные латинские буквы, являющиеся «цифрами» этой системы счисления:

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:

сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

разности значений большей и меньшей «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая (группа второго вида);

сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого и второго видов.

1

5

I

10

V

50

X

100

L

500

C

1000

D

M

Римская система счисления

алфавитная система счисления (непозиционная)

60

Римская система счисления

Правила :

• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из числа если младшая цифра (только одна !) стоит справа от старшей, она прибавляется к числу
• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
• если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из числа
• если младшая цифра (только одна !) стоит справа от старшей, она прибавляется к числу

MDC X L I V =

• MDC X L I V =

+ 5

= 1 644

+ 500

– 1

+ 50

– 10

+ 100

1000

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

M M

CCC

LXXX

IX

2389 = M M C C C L X X X I X

17

17

3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? для записи больших чисел ( 3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется : номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов 17 17 " width="640"

Римская система счисления

Недостатки :

• для записи больших чисел ( 3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M ) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?
• для записи больших чисел ( 3999) надо вводить новые знаки-цифры ( V, X , L , C , D , M )
• как записать дробные числа?
• как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?

Где используется :

• номера глав в книгах: обозначение веков: « Пираты XX века» циферблат часов
• номера глав в книгах:
• обозначение веков: « Пираты XX века»
• циферблат часов

17

17

Славянская система счисления

алфавитная система счисления (непозиционная)

17

17

Непозиционная система счисления

Примеры.

1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид:

XXXII = ( X + X + X )+( I + I ) =30+2 (две группы первого вида)

2. Число 444 в римской системе счисления имеет вид:

CDXLIV = ( D - C )+( L - X )+( V - I ) = 400 + 40 + 4 – (три группы второго вида)

3 . Число 1974:

MCMLXXIV = M +( M - C )+ L +( X ++ X )+( V - I ) = 1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»)

4. Число 2005:

MMV = ( M + M ) + V = 1000+1000+5 (две группы первого вида)

Позиционные системы счисления

• Позиционные системы счисления характеризуется тем, что количественное значение цифры зависит от ее позиции (положения) в числе.
• Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
• За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем.
• Позиционные системы получили наибольшее распространение, т.к. в них намного легче производить арифметические операции.

Позиционные системы

Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.

Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10

сотни десятки единицы

разряды

2 1 0

3 7 8

= 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 8 · 10 0

300

70

8

Другие позиционные системы:

• двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
• двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
• двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
• двадцатеричная (1 франк = 20 су)
• шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

22

22

Позиционные системы счисления

Основание позиционной системы счисления - q

Система счисления

2

Цифры (алфавит)

Двоичная

8

Восьмеричная

0, 1

10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Десятичная

16

Шестнадцатеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10) , B (11) , C (12) , D (13) , E (14) , F (15)

Позиционные системы счисления

Существует алгоритм выполнения арифметических операций «в столбик», при котором в случае переполнения разряда числа, равного основанию системы счисления q (для десятичной системы счисления q =10), единица переносится в старший разряд.

29,7

+ 8,2

37,9

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления, q =10 – используется в математике для записи числа, основание которого равно 10 (цифры от 0 до 9). Таким образом, любое число может быть представлено набором цифр с запятой или без неё. Если запятая присутствует, то числа до запятой (слева) называются целой частью числа , а после запятой (справа), называются дробной частью числа .

Пример: Запись числа 395,471 в десятичной системе счисления будет выглядеть:

где каждая позиция ряда представляет собой разряд .

2 n

«Машинные» системы счисления

Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиях как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения.

Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты вывели так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали способы преобразование чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся :

• двоичная; восьмеричная; шестнадцатеричная.
• двоичная;
• восьмеричная;
• шестнадцатеричная.

Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

Двоичная система счисления

1 0 1 1

Используются две цифры – 0 и 1

Применяются в технических устройствах

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления, q =2 – используется для преобразования чисел в два символа «0» и «1» (используются цифры 0, 1).

Пример: Двоичное число 1011,01 представляется следующей последовательностью:

В вычислительных машинах применяют две формы представления двоичных чисел:

– естественная форма (с фиксированной запятой);

– нормальная форма (с плавающей запятой, отделяющей целую часть от дробной).

• – естественная форма (с фиксированной запятой); – нормальная форма (с плавающей запятой, отделяющей целую часть от дробной).
• – естественная форма (с фиксированной запятой); – нормальная форма (с плавающей запятой, отделяющей целую часть от дробной).

Двоичная система счисления

• Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?
• Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.
• А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной; представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво ; возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; двоичная арифметика намного проще десятичной.
• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво ;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• двоичная арифметика намного проще десятичной.

• Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов , необходимых для записи чисел.

Плюсы и минусы двоичной системы

• нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
• надежность и помехоустойчивость двоичных кодов;
• выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными.

• простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей;
• двоичные числа имеют много разрядов;
• запись числа в двоичной системе однородна , то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

30

30

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

• Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи .
• Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.
• Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Восьмеричная система счисления

Используются цифры от 0 до 7

. . .

Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекся этой системой и собирался ввести ее как общегосударственную

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления, q =8 – кодирует информацию с помощью восьми символов (используются цифры 0, 1, ..., 7):

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления, q =16 – используется для кодирования 16 символов (для первых целых чисел используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются латинские буквы A, B, C, D, E, F):

Таким образом, для хранения каждой цифры необходимо использовать один разряд, запоминающий одну цифру. Поэтому проще всего хранить информацию, представленную в двоичной форме, организовывая переход от одной системы счисления к другой и используя триггеры – устройства, состояние которых соответствует двум логическим уровням – «0» и «1».

Перевод десятичных чисел в двоичные

десятичная

двоичная

0

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

Перевод десятичных чисел в двоичные

Кроме того, для перевода десятичных чисел в двоичные числа можно использовать несложный алгоритм:

Разделить число на 2. Зафиксировать остаток (0 или 1) и частное.

Если частное не равно 0, то разделить его на 2, и так далее, пока частное не станет равно 0. Если частное 0, то записать все полученные остатки, начиная с первого, справа на лево.

Пример: Представим 23 в двоичной форме и получим 10111.

Чтобы получить обратную операцию, необходимо просуммировать степени двойки, соответствующие нулевым разрядам в записи числа.

Общая формула

В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием q будет представлять собой ряд вида развернутой формы:

А q =( a n -1 q n -1 + a n -2 q n -2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ),

где А q - само число, a i – цифры системы счисления; i = n или m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Задача 1 : Получить развернутую форму чисел: 32478 10 ; 26,387 10 ; 112 3 ; 101101 2 ; 15 FC 16

Решение :

1) 32478 10 =3*10 4 +2*10 3 +4*10 2 +7*10 1 +8*10 0

2) 26,387 10 =2*10 1 +6*10 0 +3*10 -1 +8*10 -2 +7*10 -3

3) 112 3 =1*10 2 +1*10 1 +2*10 0

4) 101101 2 =1*10 101 +0*10 100 +1*10 11 +1*10 10 +0*10 1 +1*10 0

5) 15 FC 16 =1*10 3 +5*10 2 + F *10 1 + C *10 0

Обратите внимание, что в любой системе счисления ее основание записывается как 10.

Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Задача 2 : Все числа из предыдущего примера перевести в десятичную систему.

Решение :

1) 112 3 =1*3 2 +1*3 1 +2*3 0 =9+3+2=14 10

2) 101101 2 =1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =

32+8+4+1=45 10

3) 15 FC 16 =1*16 3 +5*16 2 +15*16 1 +12=

4096+1280+240+12=5628 10

Задача 3 : Определить в какой системе счисления ведется рассказ:

«Необыкновенная девочка» Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет все сейчас обычным, Когда поймете мой рассказ

Решение:

Выпишем упомянутые в стихотворении числа: 1, 10, 100, 101,1100. Все встречаемые цифры – 0 или 1. Если предположить, что зашифровано разложение по степеням двойки, то получим: «Ей было тысяча сто лет» – 1100 = 1*2 3 + 1*2 2 = 8 + 4 = 12 лет «Она в сто первый класс ходила» – 101 = 1* 2 2 + 1 = 4 + 1 = 5 класс «…пыля десятком ног» – 10 = 2 1 = 2 ноги «С одним хвостом, зато стоногий» – 1 = 2 0 = 1, 100 = 2 2 = 4 ноги Ответ: двоичная система счисления.

7. " width="640"

Задача 4. «В классе 36q учеников, из них 21q девочка и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся отсчет?»

Решение:

36q = 21q + 15q Составим уравнение, согласно правилам записи чисел в позиционных системах 3q + 6 = 2q + 1 + q + 5 Как видно, оно не имеет однозначного математического решения, логически подбираем корни уравнения

Основание системы счисления не может быть меньше 6 ( т.к. при записи чисел используется цифра 6)

Предположим оно равно 7, тогда 3 . 7 + 6 = 2 . 7 + 1 + 7 + 5 равенство выполняется ? это решение верно.

Аналогично можно рассуждать для любой системы счисления, основание которой больше 7 .

Ответ: q 7.

Домашнее задание:

• Задача 1. Запишите в развернутой форме числа: 25341 и 125,34 в десятичной, восьмеричной, шестеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
• Задача 2. Запишите в десятичной системе счисления числа: 341 9 ; 34,1 5 ; 221 3 ; 120 7 ; Е41А;12 16
• Задача 3. Запишите с помощью римских цифр год, месяц и число своего рождения.
• Задача 4. Запишите в развернутой форме числа: 5341 и 89,12 в десятичной, восьмеричной, шестеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

№

Согласны ли вы с утверждением

1

Да

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

2

Нет

3

Все системы счисления делятся на три большие группы: позиционные, непозиционные и полупозиционные.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

4

Основанием двоичной системы счисления является число 4

5

Число А21С FD4 записано в шестнадцатиричной системе счисления.

6

Число 156 7 записано с ошибкой.

7

Число 10, записанное в десятичной системе счисления, в двоичной системе счисления записывается как 1011

8

Число 10, записанное в десятичной системе счисления, меньше числа 10, записанного в восьмеричной системе счисления.

9

Число 3005,23 4 записано с ошибкой.

10

Число 6 398 записано в восьмеричной системе счисления.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+