Геометрическая прогрессия

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

« Progressio »– движение вперёд

Учебный проект по математике

Презентацию выполнила: ученица 9 класса МОУСОШ пос. Котчиха Бисерова Елена

2009 г.

Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.

А.С.Пушкин

«Прогрессия - движение вперед».

• На этот и на многие другие вопросы школьники, изучающие геометрическую прогрессию, смогут получить ответ, если внимательно изучат и воспользуются данной презентацией.

Такая простая прогрессия

Учитель в классе, где учился маленький Карл Гаусс (1777-1855) решил занять детей, чтобы они к нему не приставали и дал им сложное задание - посчитать сумму 1+2+3+…+99+100 . Каково же было его удивление, когда через пару минут Гаусс дал ответ - 5050. Как же он пришёл к этому ответу?

Вопросы учебной темы (проблемные):

• Откуда вошло в нашу жизнь слово "прогрессия"
• Геометрическая прогрессия - что это?
• Встречается ли прогрессия в нашей жизни и где мы её применяем

Гаусс Карл Фридрих (1777-1855) немецкий математик; его труды оказали огромное влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, геодезии, астрономии.

• Вступительное слово
• Определение геометрической прогрессии
• Обозначения
• Способы задания геометрической прогрессии
• Возрастающая и убывающая прогрессии
• Свойства геометрической прогрессии
• Сумма геометрической прогрессии
• Предел последовательности
• Рассказы о числах-великанах
• Общепринятые названия больших чисел
• История
• Практика решений разных видов заданий
• Интересные задачки на геометрическую прогрессию
• Приложение
• Итоговый тест
• Цели и задачи
• Результаты изучения темы
• Краткая аннотация проекта
• Заключение
• Список использованной литературы

Математика – царица и служанка всех наук.

Вступительное слово

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и (как я могла убедится) в дальнейшей жизни. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в в банковской системе, в финансовых пирамидах, в заманивающих людей играх шулеров и во многих других областях, где применяется эта последовательность. Поэтому мне кажется крайне важным дать здесь полное описание геометрической прогрессии, чтобы читатель мог почерпнуть много нового и интересного.

Определение геометрической прогрессии.

При ознакомлении и изучении геометрической прогрессии прежде всего необходимо знать её определение, так как не определившись о предмете разговора невозможно продолжать сам разговор. Итак:

числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и тоже не равное нулю число, называется геометрической прогрессией .

• Внесу некоторую ясность в данное выше определение: во-первых, мы требуем от первого члена неравенства нулю для того, что при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии и не будет являться предметом нашего дальнейшего рассмотрения.
• Во-вторых, число на которое умножаются члены прогрессии опять же не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.
• В-третьих, предоставляю возможность вдумчивому читателю самому найти ответ на вопрос, почему мы умножаем все члены прогрессии на одно и тоже число, а не, скажем, на разные. Ответ не так прост, как может показаться вначале.
• Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b 2 : b 1 = b 3 : b 2 = ... = b n : b n -1 = b n +1: b n = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q .

а 1 - первый член прогрессии,

а n - n -й член прогрессии,

d - разность прогрессии,

S n - сумма первых n членов прогрессии.

b 1 - первый член прогрессии,

b n - n -й член прогрессии,

q - знаменатель прогрессии,

S n - сумма первых n членов прогрессии,

S - сумма бесконечно убывающей прогрессии.

Архимед (около 287 - 212 до н. э.), древнегреческий математик и физик; развил методы вычисления площадей, поверхностей и объёмов различных фигур и тел, а также методы касательных и экстремумов, предвосхитившие интегральное и дифференциальное исчисления; широко применял математические методы в естествознании и технике.

Способы задания геометрической прогрессии

Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию ( b n ), достаточно знать ее первый член b 1 и знаменатель q . Например, условиями b 1 = 2, q = -5 ( q

0 ( q 1 ), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b 1 = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, ... есть монотонно убывающая последовательность. Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше1. " width="640"

Возрастающая и убывающая последовательности

• Следует заметить, что: последовательность называется возрастающей (убывающей) если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего .
• Таким образом, если q 0 ( q 1 ), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b 1 = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, ... есть монотонно убывающая последовательность.
• Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
• Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше1.

Штифель Михель (1487 – 1567), немецкий математик и странствующий проповедник; автор книги «Полная арифметика», в неё вошли все изменения в обозначениях арифметических операций и неизвестных вместе с их степенями, которые произошли к тому времени; ввёл символ для обозначения квадратного корня; продолжил арифметические прогрессии в область отрицательных чисел, а в геометрических прогрессиях ввёл отрицательные показатели степени.

Свойства геометрической прогрессии

• Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность ( b n ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.
• Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии если известны два рядом стоящие.
• Для нахождения n -ного члена геометрической прогрессии есть еще одна формула. Для того чтобы найти любой член геометрической прогрессии необходимо, чтобы она была задана, т. е. были известны значения b 1 и q :

.

• У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b 1 b n = b 2 b n -1 = ..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма геометрической прогрессии

• Так как геометрическая прогрессия это числовая последовательность, то мы можем найти ее сумму. Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:
• Если в данную формулу подставить вместо b n его выражение в виде b 1 q n -1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:
• Наконец, нельзя не коснуться такого важного с научной точки зрения понятия, как бесконечной геометрической прогрессии при . Здесь наиболее важным понятием является понятие суммы бесконечной геометрической прогрессии: пусть ( x n ) - геометрическая прогрессия со знаменателем q , где Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .
• Найти эту сумму можно по следующей формуле:

Риман Бернхард (1826 – 1866), немецкий математик; положил начало геометрическому направлению в теории функций комплексного переменного; рассматривал геометрию как учение о непрерывных совокупностях любых однородных объектов; изучал разрывные функции; ввёл в математику так называемые римановы пространства и разработал их теорию (риманову геометрию); работал в области теории дифференциальных уравнений, тригонометрических рядов, интегрального исчисления.

Предел последовательности

Понятие предела – это тот порог, за которым открывается дверь из элементарной математики в высшую. Почти каждый способен быстро воспринять и усвоить интуитивное представление о пределе, хотя строгое определение многим покажется довольно сложным.

Начнём с примера. Рассмотрим последовательность {1/n} . Её называют гармонической, поскольку каждый её член, начиная со второго, есть среднее гармоническую между предыдущим и следующим членами. Напомним, что число c есть среднее гармоническое чисел a и b если c=2ab/(a+b) , или 1/c=1/2(1/a+1/b) . Обратите внимание: с ростом n все члены гармонической последовательности убывают и неуклонно приближаются к нулю. Действительно, начиная с n = 1000, каждый очередной член отличается от нуля не более чем на 1/1000, а начиная с миллионного члена – не более чем на 1/1000000. И вообще, какое бы «микрочисло» мы ни выбрали, найдётся такой член последовательности, начиная с которого все члены отличаются от нуля менее, чем на это «микрочисло». В таком случае принято говорить, что при n , стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится и нуль есть её предел. Записывается это так:

lim 1 / n = 0

Здесь lim – начальные буквы латинского слова limes – «предел». Знаком & принято обозначать бесконечность.

Математика – царица наук, арифметика –царица математики.

К. Гаусс

Рассказы о числах-великанах

• Легенда о шахматной доске.

Издавна большой популярностью пользуется следующая задача-легенда, которая, как полагают, относится к началу нашей эры.

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это 2скромное» желание Сеты».

В этой задаче речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 2, 2, …, 2. Её сумма равна:

2 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615.

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше всей поверхности Земли.

В настоящее время известно, что эта задача встречается у ал-Беруни.

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир.

Иоганн Вольфганг Гёте

• Выгодная сделка

Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы её послушать.

«Повстречался богачу-миллионеру незнакомец и предложил выгодное дельце, по которому он должен целый месяц приносить ему ежедневно по сотне тысяч рублей. В замен богач-миллионер должен по уговору заплатить – смешно молвить – всего только одну копейку, за вторую сотню тысяч 2 копейки, за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвёртую 8, за пятую – 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:

1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 руб. 27 коп.

Незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч, а богач охотно платил свои деньги. Недолго однако длилась радость богача. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:

За 15-ю сотню тысяч 163 р. 84 к.,

« 16-ю « « 327 » 68 »,

« 17-ю « « 655 » 36 »,

« 18-ю « « 1 310 » 72 »,

« 19-ю « « 2 621 » 44 »,

Дальше пошло ещё хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплати

« 27-ю « « 671 088 » 64 »,

« 28-ю « « 1 342 177 » 28 »,

« 29-ю « « 2 684 354 » 56 »,

« 30-ю « « 5 368 709 » 12 ».

Когда гость ушёл в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешёвые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу

10 737 418 р. 23 к.»

Общепринятые названия больших чисел

Математикам приходится иметь дело с гораздо большими числами, чем физикам и астрономам. В науке о числе различных комбинаций – комбинаторике – числа-«великаны» встречаются буквально на каждом шагу.

10 3

тысяча

10 6

миллион

10 36

10 9

ундециллион

10 39

миллиард, биллион

10 12

триллион

дуодециллион

10 15

10 42

10 45

тредециллион

квадриллион

10 18

кваттуордециллион

квинтиллион

10 48

10 21

10 24

секстиллион

квиндециллион

10 51

седециллион

септиллион

10 27

10 54

10 30

октиллион

10 57

септдециллион

дуодевигинтиллион

нониллион

10 60

10 33

ундевигинтиллион

10 63

дециллион

вигинтиллион

Ферма Пьер (1601 – 1665), французский математик, один из крупнейших математиков XVII в.; занимался теорией чисел, геометрией, алгеброй, математическим анализом (метод нахождения максимумов и минимумов) , теорией вероятностей; вместе с Декартом был основателем аналитической геометрии; в теории чисел особую известность получили две его теоремы – великая и малая теоремы Ферма.

История

Слово «прогрессия» латинского происхождения ( progressio) ,буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция ( V-VI вв.).Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательности натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и вначале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII в., например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Канторович Леонид Витальевич (1912 – 1986), советский математик и экономист, лауреат Нобелевской премии (1975 г.); автор трудов по функциональному анализу и вычислительной математике, положил начало линейному программированию; один из создателей теории оптимального планирования и управления народным хозяйством, теории оптимального использования сырьевых ресурсов.

Нахождение b 1

1.Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов 189. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение.

Имеем

Разделив второе уравнение на первое и учитывая

получим ; .

Тогда

Разделив первое уравнение на второе, получим

Тогда

1). ; ;

2). ; .

Ответ: 1). ; ;

2). ; .

Нахождение b n

Вычислить шестой член геометрической прогрессии 8, 4, 2 …

Решение:

Дано b 1 =8, b 2 =4.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

По формуле находим

Ответ: 1/4

Нахождение q

1 . Вычислить шестой член геометрической прогрессии 8, 4, 2 …

Решение:

Дано b 1 =8, b 2 =4.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

По формуле находим

Ответ: 1/4

2 . Определить число членов геометрической прогрессии, в которой q =2, b n =96, S n =189.

Решение:

По условию b n =96; с другой стороны (1)

Кроме того, или

192- b 1 =189, откуда b 1 =192-189=3.

Подставляя значение b 1 =3 в (1), имеем n -1=5, откуда n =6.

Ответ: 6.

1, так как прогрессия – возрастающая). По неравенству треугольника a + b c , то есть b 1 + b 1 q b 1 q 2 . Разделив на b 1 0, имеем q 2- q -1 Решая данное неравенство получим Учитывая q 1, имеем Так как , то q Ответ: q " width="640"

3 . Длины сторон треугольника представляют собой три последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии. Сравнить знаменатель прогрессии с числом 2.

Решение:

Пусть стороны треугольника a = b 1 , b = b 1 q и c = b 1 q (где q 1, так как прогрессия – возрастающая). По неравенству треугольника a + b c , то есть b 1 + b 1 q b 1 q 2 . Разделив на b 1 0, имеем q 2- q -1

Решая данное неравенство получим

Учитывая q 1, имеем

Так как , то q

Ответ: q

Нахождение S n

1 . Число 180 представить в виде суммы четырех слагаемых так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию, у которой член больше первого на 36.

Решение:

Разделим первое уравнение на второе, учитывая, что

Тогда

Итак,

1). имеем представление 180=12+24+48+96;

2). и тогда

Ответ: 1). 180=12+24+48+96;

2).

Нахождение S

1. Найти третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6, а второй член равен -0,5.

Решение:

По условию ; , тогда имеем систему

Разделим второе уравнение на первое:

Упростим первое уравнение полученной системы:

откуда имеем (не подходит, так как | q |

Ответ: 0, 125.

2 . Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 16, 4, 1, …

Решение:

b 1 =16, q = b 2 : b 1 = b 3 : b 2 = 1/4, тогда

Ответ:

Парадокс Платона-Сократа

Критянин

Эпименид

утверждал, что

все критяне –

лжецы. Так как Эпименид был критянин, то это

означает, что он лгал .

На этот парадокс лжеца очень похож и парадокс Платона-Сократа . Когда Платон сказал: “ Следующее высказывание Сократа будет ложным “, Сократ остроумно парировал: “ То, что сказал Платон , истинн о”.

ИНТЕРЕСНЫЕ ЗАДАЧКИ

НА

ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ

ПРОГРЕССИЮ

1. Даны две геометрические прогрессии, состоящие из одинакового числа членов. Первый член и знаменатель первой прогрессии равны 20 и 3 /4 соответственно, а первый член и знаменатель второй прогрессии равны 4 и 2/3 соответственно. Если перемножить члены этих прогрессий с одинаковыми номерами, то сумма всех таких произведений составит 158,75. Найти число членов этих прогрессий.

Решение:

Пусть - первая прогрессия, а - вторая. После того, как перемножим

заданные прогрессии почленно, получим последовательность , первый член которой - 20∙4=80, а каждый последующий равен предыдущему, умноженному на

,

то есть также являющуюся геометрической прогрессией.

Итак,

Имеем уравнение: ; ; ;

n =7.

Ответ: n =7.

2. Доказать следующее утверждение: для того чтобы три числа x , y и z в указанном порядке составляли геометрическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ( x 2 + y 2 ) ( y 2 + z 2 )=( xy + yz ) 2 .

Решение:

Необходимость.

Пусть x , y , z – составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Тогда y 2 = xz .

Для доказательства равенства рассмотрим разность левой и правой части:

( x 2 + y 2 ) ( y 2 + z 2 )-( xy + yz ) 2 =

x 2 y 2 + y 4 + x 2 z 2 + y 2 z 2 - x 2 y 2 - 2 x y 2 z - y 2 z 2 = x 2 z 2 - 2 x y 2 z + y 4 = ( xz - y 2 ) 2 = 0 2 = 0.

Итак, если x , y , z составляют геометрическую прогрессию, то

( x 2 + y 2 ) ( y 2 + z 2 )=( xy + yz ) 2 .

Достаточность.

x 2 y 2 + y 4 + x 2 z 2 + y 2 z 2 = x 2 y 2 + 2 x y 2 z + y 2 z 2 ;

y 4 + x 2 z 2 = 2 x y 2 z ; y 4 - 2 x y 2 z + x 2 z 2 =0;

( y 2 - xz ) 2 = 0; y 2 = xz .

Значит x , y и z в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Утверждение доказано.

3. Определить число членов геометрической прогрессии, в которой q =2, b n =96, S n =189.

Решение:

По условию b n =96; с другой стороны , (1)

Кроме того, или ,

192- b 1 =189, откуда b 1 =192-189=3.

Подставляя значение b 1 =3 в (1), имеем

n -1=5, откуда n =6.

Ответ: 6.

КАРЛ ТЕОДОР ВИЛЬГЕЛЬМ ВЕЙЕРШТРАСС

Вейерштрасс первым построил строгую теорию иррациональных чисел. Ему принадлежит точное определение непрерывности функции. Вейерштрассу удалось сформулировать в современном виде (используя язык e–d) понятие предела,

изменив определение, данное Коши. Он построил первый пример непрерывной функции, которая не имеет производной ни в одной точке (1861); график этой функции бесконечно колеблется в окрестности каждой точки. Он же в своих лекциях сформулировал признак равномерной сходимости функциональных рядов. Вейерштрасс заложил основы современной общей теории функций комплексного переменного и начал ее систематическую разработку. Ему принадлежат и важные результаты в вариационном исчислении, вошедшие в современные университетские курсы.

Приложение

1. Величина процентного содержания кислоты в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Если же смешать их в отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 22 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержит каждый раствор?

9. Найти сумму членов геометрической прогрессии с 15 по 21 включительно, если сумма первых семи членов прогрессии равна 14, а сумма первых четырнадцати ее членов равна 18.

3. Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще одно число так, что все 3 числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия. Найти неизвестное число.

4. В арифметической прогрессии, содержащей 9 членов, первый член равен 1, а сумма всех членов равна 369. Геометрическая прогрессия также имеет 9 членов, причем первый и последний ее члены совпадают с соответствующими членами данной арифметической прогрессии. Найти пятый член геометрической прогрессии.

5. Пять различных чисел составляют арифметическую прогрессию. Если удалить ее второй и третий члены, то три оставшихся числа составят геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.

6. Найти 1523-й член геометрической прогрессии, 1511-й член которой равен -3, а 1571-й член равен -96.

7. В лаборатории стояла 10-литровая бутыль со спиртом для протирки пробирок. 1 августа в лабораторию случайно заглянул дворник дядя Петя и догадался, что находится в бутыли. Он взял стакан (емкостью 0,25 л.), отлил стакан содержимого бутыли, а затем долил в бутыль столько же воды из под крана. Такую процедуру дядя Петя проводил и 30 следующих дней, пока занятий не было. Во сколько раз изменилась концентрация спирта к началу учебного года?

8. Сумма 182-го и 190-го членов геометрической прогрессии равна -6, а сумма 194-го и 178-го членов равна -11,5. Найти 186-й член этой прогрессии и произведение 179-го и 193-го ее членов.

9. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, про которую известно, что ее второй член равен 4, а отношение суммы квадратов ее членов к сумме членов равно 16/3.

10. В квадрат со стороной 1 вписан круг, в него вписан квадрат, в этот квадрат опять круг и т.д. (до бесконечности). Найти сумму периметров всех квадратов и сумму площадей всех кругов.

11. В острый угол величины α вписана бесконечная последовательность окружностей, касающихся друг друга внешним образом. Радиус наибольшей из них равен R . Найти сумму длин окружностей.

12. В прямой круговой конус помещена бесконечная последовательность шаров так, что первый шар касается основания конуса и всех его образующих, а каждый последующий шар касается предыдущего шара (внешним образом) и всех образующих конуса. Найти угол наклона образующей конуса к плоскости его основания, если известно, что объем конуса в раз больше суммы объемов всех шаров.

13. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b 1 =81 и q=1/3.

14. Записать формулу n-го члена геометрической прогрессии: 3, 1, 1/3 , … .

15. Найти знаменатель геометрической прогрессии, если b 1 =250, b 4 =-2.

16. Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии, если b 1 =2, q =1/2 , n =5.

17. В геометрической прогрессии найти число n членов, если S n = 635, b 1 =5, q =2.

0. 20. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6, 1, q=1/2 , … . 21. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150. Найти q , если b 1 =75. 22. Записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: а) 0, (9); б) 0, 2 (3). 23. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию. если их произведение равно 64, а среднее арифметическое 14/3. 24. Три числа a , b , 12 в указанной последовательности составляют геометрическую прогрессию, а числа a , b , 9 – арифметическую прогрессию. Найти a и b . " width="640"

18. Найти сумму чисел, если ее слагаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии 1+3+9+…+243.

19. В геометрической прогрессии найти b 5 и S 4 , если b 2 =14, b 4 =686, q 0.

20. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6, 1, q=1/2 , … .

21. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150. Найти q , если b 1 =75.

22. Записать бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби: а) 0, (9); б) 0, 2 (3).

23. Найти три числа, образующих геометрическую прогрессию. если их произведение равно 64, а среднее арифметическое 14/3.

24. Три числа a , b , 12 в указанной последовательности составляют геометрическую прогрессию, а числа a , b , 9 – арифметическую прогрессию. Найти a и b .

25. Найти сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3.

26. Числа a 1 , a 2 , …, a n образуют арифметическую прогрессию.

Доказать, что:

27. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.

28. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3 , четвертый член этой прогрессии равен 1/54 , а сумма всех ее членов равна 121/162 . Найти число членов этой прогрессии.

29. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что:

30. Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равна 1820.

31. Произведение трех первых членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

32. Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены равны 3, 12 и 3072 соответственно.

33. В конечной геометрической прогрессии известны ее первый член b 1 , последний член b n и сумма S n всех ее членов. Найти сумму квадратов всех членов этой прогрессии.

34. В некоторой геометрической прогрессии содержится 2 n положительных членов, произведение первого члена на последний равно 1000. Найти сумму десятичных логарифмов всех членов прогрессии.

35. Известно, что , L, M, N – соответственно l -й, m -й, n -й, члены геометрической прогрессии. Показать, что:

36. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем | q | 8/5 , а второй член равен – 1/2 .

37. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем | q |

38. Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии (| q |

39. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами и со знаменателем | q |

40. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если из третьего числа вычесть 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же из второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии вычесть по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

41. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, образующие арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.

42. Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

43. Длины сторон треугольника представляют собой три последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии. Сравнить знаменатель прогрессии с числом 2.

Такая простая прогрессия

Гениально просто - он заметил, что 1+100=2+99=3+98=…=50+51 = 101 . Количество пар - 50, поэтому сумма равняется 50*101=5050. Из этого факта произошла простая формула для прогресии S = (a 1 + a n ) * (n/2) А что же геометрическая прогрессия 1 + a1 + a2 + … + an ? Здесь тоже всё просто. Заметим, что S n +1 = 1 + a 1 + a 2 + … + a n + a n +1, что можно выразить как S n + a n +1 или же как 1 + a * S n То есть S n + a n +1 = 1 + a * S n , то есть a n +1 -1 = (a - 1) S n , а значит S n = (a n +1 -1) / (a - 1)

Дидактические цели учебного проекта

• Развитие самостоятельных умений учащихся
• Формирование интереса к математике.
• Формирование математической грамотности.
• Формирование умения видеть связь математики с жизнью.
• Воспитание чувства ответственности, взаимопомощи.

Методические задачи учебного проекта

• Достичь достаточно глубокого усвоения учащимися арифметической и геометрической прогрессий
• Учить видеть прикладную направленность данного материала. Научить работать с прогрессиями
• Учить видеть применение прогрессий в жизни
• Выяснить, как формировалось представление о прогрессии на протяжении веков
• Создать условия, при которых учащиеся самостоятельно и охотно приобретают знания из разных источников; учатся пользоваться приобретёнными знаниями при решении практических задач

В результате изучения темы учащиеся должны знать: понятие последовательности, членов последовательности; определение арифметической и геометрической прогрессии; понятие разности арифметической и знаменателя геометрической прогрессии; формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

В результате изучения темы учащиеся должны уметь: применять формулы общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий при решении упражнений.

Акцент в проекте делается на самостоятельное изучение темы, её прикладную направленность. Проект проводился по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в курсе алгебры 9 класса. Арифметическая прогрессия давалась для самостоятельного изучения и как результат этого – презентация ученика для объяснения этого материала всему классу. Без понимания истории вопроса нет смысла его изучения. Исторический материал после самостоятельного изучения ученики представляют в виде буклетов, а затем в виде общей презентации. Задачи, показывающие прикладную направленность прогрессий, ученики находят сами ( с небольшой помощью учителя), а затем разбирается их решение на уроке.

Заканчивая описание геометрической прогрессии хочется лишний раз повторить, что за видимой простотой геометрической прогрессии скрывается большой прикладной потенциал этого раздела алгебры.

1) Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. Э68 М.Д. Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.: ил.

2) Алгебра: Учеб. Для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 270 с.: ил. – ISBN 5-09-013581-9 .

3) Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

4) Живая математика. Под редакцией Я.И. Перельман и с дополнениями В.Г. Болтянского.

5) Ресурсы интернет

6) .Математика.ЕГЭ.Сдаем без проблем! «Эксмо», О.А. Креславская, В.В. Крылов, В.И. Снегурова, В.Е. Ярмолюк.(с.62-71).

7) Математика:Сборник задач для поступающих в вузы. «Ориентир», Андреева Е.Г. 2004г. (с.53-56).

8) Решебник основных конкурсных задач по математике из сборника под редакцией М.Н. Сканави: Прогрессии. Текстовые задачи. Начала анализа. Стереометрия. Учебное пособие. Истер А.С., «А.С.К.», 2003г. (с.5-40).

9) Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. «Просвещение», 2006г., (с.49,81).