Исследовательская работа "Геометрические фигуры вокруг нас"

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Хоринский район

Центральный Образовательный Округ № 1

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Санномыская средняя общеобразовательная школа»

Научно-практическая

конференция учащихся 4, 5, 6 классов

«Я-личность!»

Номинация: математика

Тема: «Геометрические фигуры вокруг нас»

Выполнил: ученик 5 класса

Гурулев Никита

Руководитель: учитель математики

Рекунова Наталья Владимировна

Телефон: +79140538034

Санномыск

Оглавление:

1. Введение………………………………………………………………………………….2

2. Основная часть:

Глава I: Понятие многогранника и его элементы……………………………………...4

1. Понятие многогранника…………………………………………………………4

2. Определение правильных многогранников……………………………………4

3. Платоновы тела………………………………………………………………...4-5

4. Свойства правильных многогранников………………………………………...5

5. Многогранники вокруг нас в различных формах …………………………...6

6. Связь многогранников с природой……………………………………………...7

Глава II: История изучения многогранников…………………………………………..8

1. История изучения многогранников……………………………………………..8

2. Практическая работа по изготовлению правильных многогранников…… 10

1. Заключение…………………………………………………………………………… 10

2. Список литературы……………………………………………………………………..11

3. Приложения………………………………………………………………………....12-22

Введение

Актуальность темы:

Кое-кто, возможно, считает, что различные замысловатые линии, фигуры, поверхности можно встретить только в книгах учёных-математиков. Однако стоит осмотреться, и мы увидим, что многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. Оказывается их очень много, просто мы их не всегда замечаем.

Когда я перешел из четвертого класса в пятый класс, я поразился многообразию кабинетов в школе, в которых нам придется заниматься. Больше всех меня привлек кабинет математики, в нем было столько разнообразных фигур, что я был поражен их огромному количеству. Они были повсюду: в таблицах, на стендах, а сколько их было в шкафу за стеклом!? Оказалось, что все эти фигуры мы будем изучать отдельным предметом ГЕОМЕТРИЯ.

ГЕОМЕТРИЯ – это наука, которая изучает формы, размеры и взаимное расположение фигур, от греческого слова землемерие.

Есть в школьной геометрии особые темы, которые меня заинтересовали. К таким темам можно отнести "Геометрические фигуры". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, но и неповторимые свойства, особенности которых вызывают споры у ученых и философов.

В течение всей жизни человек тесно связан с "Геометрическими фигурами", в том числе с многогранниками. Несмотря на отсутствие знания таких сложных терминов, как «тетраэдр», «октаэдр», «додекаэдр» и др., он уже с самого раннего детства испытывает интерес к этим уникальным фигурам.

Ведь суть «кубиков» - одной из самых популярных детских игр - состоит в том, чтобы построить из многогранников объект.

На протяжении многих веков людей словно притягивают эти тела. Древние египтяне строили гробницы своим фараонам (которых они считали полубогами) в форме тетраэдра, что еще раз подчеркивает величие и этих фигур.

Но не только руками человека создаются эти загадочные тела. Одни из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (были обнаружены учеными с помощью электрического микроскопа). А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, имеют форму правильного многогранника. Существовала гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.

Постановка проблемы: Так что же представляют собой эти столь совершенные тела?

Целью исследования являлось изучение правильных многогранников, их видов, свойств.

В задачи нашего исследования входило:

• Дать понятие многогранников, правильных многогранников.

• Доказать существование Платоновых тел.

• Рассмотреть свойства правильных многогранников.

• Многогранники вокруг нас в различных формах.

• .Рассмотреть связь правильных многогранников с природой.

• Ознакомление с историей изучения многогранников.

• Практическая работа по изготовлению правильных многогранников.

Методы исследования:

• Работа со справочной литературой;

• Анализ исторических материалов;

• Работа с интернет ресурсами;

• Беседа с преподавателем.

Основная часть:

ГЛАВА I

Понятие многогранника и его элементы.

1. Понятие многогранника.

Понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники выделяются своими интересными свойствами, красивыми формами. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат. Теория многогранников имеет богатую и древнюю историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония. В то же время это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены советскими математиками Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании.

Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.

1. Определение правильных многогранников

Правильным называется многогранник, у которого все грани это правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

Всего существует пять многогранников - ни больше, ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла (Приложение 1).

В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360^о, иначе никакой многогранной поверхности не получится.

1. Платоновы тела. Платоновыми телами называются правильные выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. К каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны.

Многогранники называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Платон (Platon) греческий философ. Родился в Афинах. Настоящее имя Платона было Аристокл.

Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным (Приложение 2).

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь.

В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента - землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Характеристики Платоновых тел

1. Свойства многогранников

Тетраэдр - составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников и в каждой вершине сходится по три ребра и по три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º. У тетраэдра: 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Октаэдр - составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников и в каждой вершине сходится по четыре ребра и по четыре грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Куб - составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Икосаэдр - составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300. Число ребер равно 30, число вершин — 12, граней – 20.

Додекаэдр - составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º.У додекаэдра:12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

1. Правильные многогранники и природа

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

1.6. История изучения многогранников

Названия многогранников пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «эдра» - грань; «тетра» - 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «икоса» - 20; «додека» - 12. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр"

означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.

Кстати, раз уж заговорили о Евклиде, то давайте познакомимся с ним поближе. С ним, и с другими учеными, изучавшими многогранники.

Евклид (ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик.

Основное сочинение Евклида называется «Начала». «Начала» состоят из тринадцати книг. XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников. В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. Некоторый «платонизм» Евклида связан с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр — огонь, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, куб — земля, Приложение 2.), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». «Начала» могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников — так называемых «Платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

Архимед Сиракузский

Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники.

Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп.

Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их  усечения. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усечённый тетраэдр, усечённый гексаэдр (куб), усечённый октаэдр, усечённый додекаэдр и усечённый икосаэдр.

Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Эти два тела носят названия: кубооктаэдр и икосододекаэдр.

Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром» в отличие от большого ромбокубооктаэдра и большого ромбоикосододекаэдра.

Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы
зеркальное отражение другого).

Иоганн Кеплер (27 декабря 1571 г. – 15 ноября 1630 г.)

Вклад Кеплера в теорию многогранника – это, во-первых, восстановление математического содержания утерянного трактата Архимеда о полуправильных выпуклых однородных многогранниках. Еще более существенным было предложение Кеплера рассматривать невыпуклые многогранники со звездчатыми гранями, подобными пентаграмме и последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых однородных многогранников – малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра.

Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел). Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы – додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна. Эта модель выглядела для своего времени довольно правдоподобно. Во-первых, расстояния, вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным (учитывая доступную тогда точность измерения). Во-вторых, модель Кеплера давала объяснение, почему существует только шесть (именно столько было тогда известно) планет – именно шесть планет гармонировали с пятью Платоновыми телами. Однако даже на тот момент эта привлекательная модель имела один существенный недостаток: сам же Кеплер показал, что планеты вращаются вокруг Солнца не по окружностям ("сферам"), а по эллипсам (первый закон Кеплера). Нечего и говорить, что позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута.

2.2. Практическая работа по изготовлению правильных многогранников.

1. Готовлю развёртку правильного тетраэдра, длина ребра равна 15 см, на плотном листе бумаги сделав припуски для склеивания. Вырезаю развёртку и склеиваю (Приложение 1 рис.1).

2. Готовлю развёртку куба, длина ребра 10 см на плотном листе бумаги сделав припуски для склеивания. Вырезаю развёртку и склеиваю (Приложение 1 рис. 2).

3. Готовлю развёртку правильного октаэдра, длина ребра 15 см на плотном листе бумаги сделав припуски для склеивания. Вырезаю развёртку и склеиваю (Приложение 1 рис.3).

4. Готовлю развёртку икосаэдра, длина ребра 11 см на плотном листе бумаги сделав припуски для склеивания. Вырезаю развёртку и склеиваю (Приложение 1 рис.4).

5. Готовлю развёртку додекаэдра, длина ребра на плотном листе бумаги сделав припуски для склеивания. Вырезаю развёртку и склеиваю (Приложение 1 рис. 5).

3.Заключение

Основной целью представленной работы являлось изучение правильных многогранников, их видов и свойств. Для достижения этой цели был проведен сравнительный анализ учебной и научно-популярной литературы, а также ресурсов сети Интернет.

В процессе исследования мы изучили удивительные особенности строения правильных многогранников, их виды и свойства, особенности строения. Познакомились с интересными историческими гипотезами и фактами. Увидели красоту, совершенство и гармонию форм этих тел, которые изучаются учеными на протяжении многих столетий и не перестают удивлять нас. Узнали, что в строении нашей, казалось бы, шарообразной планеты присутствуют правильные многогранники, что еще раз доказывает их значение в окружающем нас мире. И многие современные ученые склоняются к гипотезе, что вещества в природе состоят именно из этих уникальных фигур.

Подводя итоги, считаю, что цели исследования достигнуты, на этом моя исследовательская работа не заканчивается, так как я хочу в дальнейшем тему работы развивать, например, рассмотреть использование свойств, особенностей симметрии правильных многогранников в архитектуре, технике, искусстве.

4. Список используемой литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 10-11 класс – 2019. - №14;

2. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия – 1996;

3. Математика: Школьная энциклопедия – 2003;

4. Энциклопедия для детей. Аванта+ Математика – 2003;

5. Интернет-ресурсы.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Рис. 1 Развертка тетраэдра

Рис. 2 Развертка куба (гексаэдра)

Рис. 3 Развертка октаэдра

Рис. 4 Развертка икосаэдра

Рис. 5 Развертка додекаэдра

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ТЕТРАЭДР – ОГОНЬ

КУБ – ЗЕМЛЯ

ОКТАЭДР – ВОЗДУХ

ИКОСАЭДР – ВОДА

ДОДЕКАЭДР – ВСЕЛЕННАЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Практическая работа

24