Исследовательская работа по геометрии "Охота на формулу Пика"

МУ «Районное управление образования» Администрации МО «Кабанский район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждения

«Селенгинская средняя общеобразовательная школа №2»

Охота на формулу Пика

Выполнила: Бурлакова София, ученица 9Б класса

МБОУ «Селенгинская СОШ №2»

Научный руководитель: Мальцева Ирина Викторовна,

учитель математики I квалификационной категории.

2024 г.

Содержание

Введение

«О, сколько нам открытий чудных

Готовят просвещенья дух,

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг,

И случай, бог изобретатель».

А. С. Пушкин

Моё искреннее увлечение математикой началось с одной интересной задачи, которую нам дал наш учитель для подготовки к общему государственному экзамену. Картинку к задаче вы можете увидеть на слайде. Суть задачи заключалась в том, чтобы определить площадь многоугольника. Как вы можете заметить, это задача на клетчатой бумаге. С первого взгляда, задача не вызывает затруднений, ведь достаточно посчитать количество целых клеток и мелкие частички, но при подсчёте у меня возникли существенные затруднения. После длительного решения данной задачи, я получила ответ, но я задалась вопросом, можно ли данную задачу решить более лёгким и рациональным способом? Оказалось, что можно!

Я начала искать информацию о способах решения задач на клетчатой бумаге. В процессе поиска информации, мною была сформулирована тема исследования.

Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге из содержания материалов ОГЭ по математике.

Предмет исследования: изучение рационального способа вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, измерение, конструирование.

Цель исследования: изучить формулу Пика и научиться применять её при решении задач на клетчатой бумаге

Для достижения поставленной цели, я сформулировала следующие задачи:

- сбор и анализ литературы по теме исследования;

- структурирование подобранного материала;

- изучение теории по теме исследования;

- вывод и доказательство формулы Пика;

- решение различных задач по теме исследования;

- оформление материалов исследования;

- демонстрация материалов исследования.

Практическое применение данной работы: материалы данного исследования могут использовать обучающиеся для подготовки к общему государственному экзамену, олимпиадам или для получения углубленных знаний по предмету, так и учителя, при обучении обучающихся решению задач на клетчатой бумаге и при организации внеурочной деятельности обучающихся.

При сборе и анализе информации по теме моего исследования, мною была сформулирована следующая гипотеза: действительно ли площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, численно равна значению, полученному при вычислении общеизвестными формулами планиметрии?

Стоит отметить, что для решения задач данного типа необходимо обладать геометрическим воображением, базовыми знаниями по планиметрии, повышенной концентрацией внимания при решении задач. При дальнейшем изучении теории, мы с вами убедимся, что представленный нами способ решения задач красив, оригинален и рационален.

Ассоциативный ряд

Для вывода, доказательства и запоминания формулы Пика, познакомимся с понятиями, которые пригодятся нам в дальнейшем.

Запомнить формулу Пика удобно через следующий ассоциативный ряд.

Для этого можно рассмотреть следующую идею.

Предположим, что мы на наш многоугольник накинули сеть, тем самым, поймав фигуру. Для того, чтобы найти площадь, отвечаем на вопрос: Какие узлы я вижу на фигуре? Отвечаем, что видим В - внутренние и Г – граничные узлы. Считаем их. Далее, в формуле располагаем их так: по алфавиту, буква В идёт первой, значит её ставим на первое место , за ней буква Г, её на второе и вспоминаем, что мы на фигуру накинули одну сеть, которую нужно отнять .

Доказательство формулы Пика

Далее рассмотрим с вами рыболовную сеть. У неё есть вертикальные и горизонтальные прямые, параллельные между собой, которые при пересечении делят плоскость на множество четырёхугольников, которые являются квадратами. Квадраты в свою очередь порождают решётку (сетку), а совмещение вершин квадратов образует узлы решётки (сетки). В дальнейшем, площадь одного квадрата сетки мы будем считать равной 1 кв. ед.

Далее, через каждый узел нашей сетки проведём параллельные прямые. Можем увидеть, что каждый из квадратов разбился на два треугольника. Такой процесс – разбиения многоугольника на непересекающиеся треугольники называется триангуляцией. Мы будем пользоваться только правильной триангуляцией, а именно случаем, когда два любые треугольника либо имеют общую сторону или вершину, либо не имеют общих точек.

Получаем, что доказав справедливость формулы Пика для треугольников, мы, в силу триангуляции, можем говорить о справедливости формулы Пика для многоугольников.

Для доказательства формулы Пика рассмотрим свойства сетки.

1. Любая прямая, проходящая через два узла сетки содержит в себе бесконечно много узлов сетки и расстояние между любыми двумя соседними узлами, принадлежащими одной прямой, равны между собой;

2. Параллелограмм, построенных на узлах сетки и не содержащий узлов внутри себя и на своих сторонах, называется фундаментальным (элементарным);

3. Треугольник, построенных на узлах сетки и не имеющий других узлов внутри себя и на своих сторонах, называется примитивным (простейшим/элементарным). Легко догадаться, что любой элементарный параллелограмм диагональю разбивается на два элементарных треугольника;

Теорема. Все элементарные параллелограммы и треугольники между собой имеют равные площади.

Доказательство: Для доказательства теоремы достаточно показать, что все элементарные треугольники имеют одинаковую площадь. Для этого рассмотрим элементарный треугольник, вокруг которого восстановлен минимальный прямоугольник.

Вычислим площадь треугольника : или .

Ч. т. д.

Далее, рассмотрим вывод формулы Пика, основанный на подсчёте сумм углов элементарных треугольников.

Для вывода формулы рассмотрим произвольный невыпуклый многоугольник у которого вершин (или как нам привычно - узлов). Узлы на границе фигуры: , где - это кол-во граничных узлов вместе с вершинами. Буквой N обозначим число элементарных треугольников, на которые мы разбили наш многоугольник. Покажем, что число N не зависит от способа разбиения.

Рассмотрим узлы, находящиеся внутри многоугольника, они играют роль вершин треугольников, на которые разбивается многоугольник, заметим, что сумма всех углов, для которых каждая из внутренних точек является вершиной, равна . Получаем, что сумма всех углов всех треугольников с вершинами во внутренних точках равна: .

Далее рассмотрим граничные узлы, не являющиеся вершинами, которых штук. Сумма всех углов всех треугольников при таких вершинах равна: .

При вершинах многоугольника, сумма всех углов всех треугольников равна сумме внутренних углов многоугольника, которая вычисляется по известной формуле: .

В общем случае имеем, что сумма всех углов всех треугольников, также равна . С другой стороны, учитывая все узлы многоугольника, можно записать равенство: . Преобразовав, получим: .

Вспомним, что площадь элементарного треугольника равна , значит, площадь многоугольника мы с вами найдём из полученной формулы, предварительно разделив её на 2: .

Ч. т. д.

Справедливость формулы Пика

Далее покажем, что формула справедлива для произвольных многоугольников.

Рассмотрим первый случай: элементарный квадрат. Действительно, , , получаем, что: .

Далее рассмотрим произвольный прямоугольник со сторонами равными и . Для начала подсчитаем количество внутренних узлов, для этого обозначим их. Для удобства счёта, перенесём все внутренние узлы, в центры квадратов, для которых любой внутренний узел является верхней левой вершиной.

Теперь можем заметить, что счёт узлов, свёлся к счёту квадратов с узлом внутри. Для этого нам необходимо вычесть столбец и строку, которые не содержат узлы внутри себя. При вычитании строки и столбца мы вычли левую верхнюю клетку (клетка с крестиком) два раза, значит, нам нужно вернуть её один раз. Получаем, что количество внутренних узлов равно: .

Количество граничных узлов можем посчитать следующим образом. На каждой стороне нашего прямоугольника начиная с верхнего левого узла отметим число узлов, равное длине стороны, в нашем случае , а . Получаем, что .

Подставляем полученные данные в формулу: .

Далее рассмотрим случай для прямоугольного треугольника, получаемого путём разделения прямоугольника любой из своих диагоналей.

Разделим наш прямоугольник на два прямоугольных треугольника любой из диагоналей. И посчитаем внутренние узлы.

Для начала из прямоугольника уберём все узлы, которые лежат на диагонали, т.к. они являются граничными узлами полученного треугольника. Но убрав все узлы диагонали, мы также убрали узлы, которые являются вершинами треугольника, значит, нам нужно их вернуть. Таким образом получаем, что количество внутренних узлов в прямоугольнике стало равно , где - это количество узлов, лежащих на диагонали (вместе с вершинами прямоугольника!). Так как при разбиении прямоугольника получается два треугольника, то количество внутренних узлов необходимо поделить на два: .

Посчитаем граничные узлы. Для этого рассмотрим треугольник и на каждой стороне обозначим такое число узлов, скольким равна длина стороны. В данном случае , , . Если мы начнём обозначать узлы с верхней левой вершины, то обойдя весь треугольник мы увидим, что верхнюю левую вершину мы переобозначили два раза, значит, нам необходимо вычесть одно переобозначение. Получаем, что количество граничных узлов равно: . Подставим в формулу: или .

Далее рассмотрим произвольный треугольник. Его площадь можно найти путём вычитания из прямоугольника прямоугольных треугольников. А так как мы доказали справедливость формулы Пика для прямоугольника и прямоугольного треугольника, то формула будет верна и для произвольного треугольника в силу триангуляции (любой треугольник можно разбить на два прямоугольных).

Исключения формулы Пика

Далее стоит отметить важные замечания.

Формула применима не для всех фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Покажем все случаи.

Также стоит отметить, что после усовершенствования формулы, она начинает работать, но данный случай не рассматривается нами в данной работе и будет рассмотрен в дальнейшем.

Применение формулы Пика на практике

Продемонстрируем решение задач через формулы планиметрии и формулу Пика и сравним сложность вычислений.

Задание: найдите площадь многоугольника, зная, что длина стороны квадрата равна 1.

Заключение

Рассмотрев теорию по формуле Пика и применив её на практике, могу сказать, что моя гипотеза оказалась верной.

Я пришла к выводу, что решение задач на вычисление площади многоугольников на клетчатой бумаге становится более рациональным при использовании формулы Пика, нежели при разбиении фигуры на простейшие.

После изучения формулы Пика, у меня стало значительно меньше времени уходить на выполнение заданий по нахождению площади фигур на клетчатой бумаге. Я решила провести интересный эксперимент, а именно познакомить с данной формулой своих одноклассников и узнать, поможет ли моим одноклассникам данная формула при решении задач

Вместе с учителем, на одной из консультаций, я провела маленькое занятие, на котором рассказала ребятам про формулу Пика и предложила ребятам решить карточку с заданиями (Приложение 3). Им необходимо было решить задачу двумя способами, по известным им формулам планиметрии и по формуле Пика и после сравнить, на какое решение уходило больше времени.

При решении задач по известным формулам планиметрии, ребята использовали в основном два приёма: либо они достраивали фигуру до прямоугольника, либо дробили данную фигуру на более простые.

На основании результатов, представленных в таблице 1 Приложения 1, можно прийти к выводу, что ребята куда успешнее и быстрее решили задачи по формуле Пика, что подтвердило мою догадку.

В процессе работы над своим исследованием, я собрала обширный материал, по задачам на клетчатой бумаге, который оформила в маленький задачник, с ним можно ознакомиться в приложении 2. Его можно использовать как на уроках математики, так и при подготовке к олимпиадам и при организации внеурочной деятельности обучающихся.

Важно отметить, что у задач на клетчатой бумаге нет определённого способа решения. Каждая задача подразумевает тщательный анализ чертежа и выбор разбиения фигуры или использования формулы Пика. Задачи на клетчатой бумаге развивают умение думать, размышлять, анализировать новые подходы решения, тем самым развивая мыслительные навыки, которые человек использует в повседневной жизни.

Список литературы

1. Вавилов В.В., Устинов А.В. Многоугольники на решётках. – М.: МЦНМО, 2006. – 72 с.: ил. ISBN 5-94057-246-4.

2. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. Режим доступа: Геометрия на клетчатой бумаге | 9-11 классы | Кружки | Малый мехмат МГУ (msu.ru)

3. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/Текстологическая обработка Ю.В. Нестеренко ; Под ред. М.К. Потапова. – 5-е изд., исправленное.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1987. – 176 с.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: МЦНМО, 2015. – 2-е изд., доп. – 216 с.

5. Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. – М.: МЦНМО, 2002.- 120 с.: ил. Серия: «Секреты преподавания математики»

6. Образовательный портал для подготовки к экзаменам СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ (Математика). Режим доступа: ОГЭ−2024, Математика: задания, ответы, решения (sdamgia.ru)

Приложение 1

Таблица 1.

Раздаточный материал к эксперименту смотреть в Приложении 3

Приложение 2

Задачник

Первый уровень

Задание: Найдите площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, где длина квадрата равна 1.

Второй уровень

Задание: Найдите площадь многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, где длина квадрата равна 1.

Третий уровень

Задание 1. Шахматный король обошел доску 88 клеток, побывав на каждом поле ровно 1 раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, последовательно соединяющая центры полей, не имеет самопересечений.

а. нарисуйте такую ломаную;

б. найдите площадь, ограниченную этой ломаной.

Задание 2. Нарисуйте треугольник площади , у которого все стороны больше 5, а вершины лежат в узлах сетки.

Задание 3. Замкнутая не самопересекающаяся ломаная идет по линиям сетки и проходит по одному разу через все узлы клетчатого квадрата 77. Найдите площадь фигуры, ограниченной этой ломаной.

Задание 4. Пусть А и В – два узла клетчатой бумаги, из которых второй на p клеток правее и на q клеток выше первого. Чему равно расстояние от прямой АВ до ближайшего к ней узла, не лежащего на этой прямой?

Задание 5. Найдется ли правильный треугольник с вершинами в узлах сетки?

Задание 6. Найдется ли прямоугольный треугольник с целыми сторонами и вершинами в узлах сетки

а. на сторонах которого нет узлов сетки кроме вершин;

б. ни одна из сторон которого не проходит по линиям сетки?

Задание 7. Докажите формулу Пика, разбив доказательство на ряд шагов:

а. проверьте формулу Пика для прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки;

б. докажите формулу Пика для многоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки;

в. докажите формулу Пика для прямоугольного треугольника с катетами, идущими по линиям сетки;

г. докажите формулу Пика для многоугольника, составленного из двух многоугольников, для которых формула Пика уже доказана;

д. пусть многоугольник, для которого формула Пика уже проверена, составлен из двух многоугольников. Докажите, что если формула Пика выполняется для одного из них, то она выполняется и для другого;

е. докажите формулу Пика для произвольного треугольника с вершинами в узлах сетки;

ё. докажите, что всякий выпуклый многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники;

ж. докажите, что любой (не обязательно выпуклый) многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники;

з. докажите формулу Пика для произвольного многоугольника с вершинами в узлах сетки.

Задание 8. Точку M внутри треугольника соединили с его вершинами, в результате треугольник разбился на три равновеликие части. Докажите, что M – точка пересечения медиан треугольника.

Задание 9. Вершины треугольника расположены в узлах клетчатой бумаги, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри есть ровно один узел О. Докажите, что О – точка пересечения медиан треугольника.

Задание 10. Докажите, что найдется прямая, проходящая через два узла клетчатой бумаги, и не лежащий на этой прямой узел, такой, что расстояние между ними меньше .

Задание 11. Докажите, что для любого многоугольника с вершинами в узлах сетки отношение его площади к квадрату любой стороны рационально.

Задание 12. Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n 5.

Задание 13. На большой шахматной доске отметили 2n клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные. Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на n прямоугольников.

Задание 14. Ладья, шагая по одной клетке, за 64 хода обошла все клетки шахматной доски и вернулась на исходную клетку. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Приложение 3