Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar.

Mavzu: Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar.

REJA:

1. Kirish

2. Asosiy qism

1. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasi.

2. Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi. Shartli taqsimot qonunlari.

3. Ikki o`lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. Ba’zi muhim ikki o‘lchovlik taqsimotlar

1. Xulosa

2. Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish.

Ehtimollar nazariyasi “tasodifiy tajribalar”, ya’ni natijasini oldindan
aytib bo‘lmaydigan tajribalardagi qonuniyatlatni o‘rganuvchi matematik
fandir. Bunda shunday tajribalar qaraladiki, ularni o‘zgarmas (ya’ni, bir
xil) shartlar kompleksida hech bo‘lmaganda nazariy ravishda ixtiyoriy
sonda takrorlash mumkin, deb hisoblanadi. Bunday tajribalar har birining
natijasi tasodifiy hodisa ro‘y berishidan iboratdir. Insoniyat faoliyatining
deyarli hamma sohalarida shunday holatlar mavjudki, u yoki bu tajribalarni
bir xil sharoitda ko‘p marta takrorlash mumkin bo‘ladi. Ehtimollar
nazariyasini sinovdan-sinovga o‘tishida natijalari turlicha bo‘lgan tajribalar
qiziqtiradi. Biror tajribada ro‘y berish yoki bermasligini oldindan aytib
bo‘lm aydigan hodisalar tasodifiy hodisalar deyiladi. Masalan, tanga
tashlash tajribasida har bir tashlashga ikki tasodifiy hodisa mos keladi: tanganing gerb tomoni tushishi yoki tanganing raqam tomoni tushishi.
Albatta, bu tajribani bir marta takrorlashda shu ikki tasodifiy hodisalardan
faqat bittasigina ro‘y beradi. Tasodifiy hodisalarni biz tabiatda, jamiatda,
ilmiy tajribalarda, sport va qimoro‘yinlarida kuzatishimiz mumkin. Umumlashtirib aytish mumkinki, tasodifiyat elementlarisiz rivojlanishni
tasavvur qilish qiyindir. Tasodifiyatsiz umuman hayotning va biologik
turlarning yuzaga kelishini, insoniyat tarihini, insonlarning ijodiy
faoliyatini, sotsial-iqtisodiy tizim larning rivojlanishini tasavvur etib
bo‘lmaydi. Ehtimollar nazariyasi esa aynan mana shunday tasodifiy
bog‘liqliklarning matematik modelini tuzish bilan shug‘illanadi.
Tasodifiyat insoniyatni doimo qiziqtirib kelgandir. Shu sababli ehtimollar
nazariyasi boshqa matematik fanlar kabi amaliyot talablariga mos ravishda
rivojlangan. Ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlardan farqli o‘laroq nisbatan qisqa, ammo o‘ta shijoatlik rivojlanish tarixiga ega. Endi qisqacha tarixiy ma’lumotlarni keltiramiz. Ommaviy tasodifiy hodisalarga mos masalalarni sistematik ravishda o‘rganish va ularga mos matematik apparatning yuzaga kelishi XVII asrga to‘g‘ri keladi. XVII asr boshida, mashhur fizik Galiley fizik o‘lchashlardagi xatoliklarni tasodifiy deb hisoblab, ularni ilmiy tadqiqot qilishga uringan. Shu davrlarda kasallanish, o‘lish, baxtsiz hodisalar statistikasi va shu kabi ommaviy tasodifiy hodisalardagi qonuniyatlarni tahlil qilishga asoslangan sug‘urtalanishning umumiy nazariyasini yaratishga ham urinishlar bo‘lgan. Ammo, ehtimollar nazariyasi matematik ilm sifatida murakkab tasodifiy jarayonlarning o‘rganishdan emas, balki eng sodda qimor o‘yinlarini tahlil qilish natijasida yuzaga kela boshlagan. Shu boisdan ehtimollar nazariyasining paydo bo‘lishi XVII asr ikkinchi yarmiga mos keladi va u Paskal (1623­ 1662), Ferma (1601-1665) va Gyuygens (1629-1695) kabi olimlarning qimor o‘yinlarini nazariyasidagi tadqiqotlari bilan bog‘liqdir. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi katta qadam Yakov Bernulli (1654-1705) ilmiy izlanishlari bilan bog‘liqdir. Unga, ehtimollar nazariyasining eng muhim qonuniyati, deb hisoblanuvchi “katta sonlar qonuni” tegishlidir. Ehtimollar nazariyasi rivojidagi yana bir muhim qadam Muavr (1667-1754) nomi bilan bog‘liqdir. Bu olim tomonidan normal qonun (yoki normal taqsimot) deb ataluvchi muhim qonuniyat mavjudligi sodda holda asoslanib berildi.

Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir. Tasodifiy tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo‘lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari (yoki grek alifbosining kichik harflari ) bilan qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar bilan belgilanadi.

Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) -tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) -asbobning beto‘htov ishlash vaqti; 4) kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) -bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar soni va h.k..

Agar tasodifiy miqdor (tasodifiy miqdor) chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi.

Agar tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan iborat bo‘lsa uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdor deyiladi.

Demak, diskret tasodifiy miqdor bir-biridan farqli alohida qiymatlarni, uzluksiz tasodifiy miqdor esa biror oraliqdagi ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilar ekan. Yuqoridagi va tasodifiy miqdorlar diskret, esa uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘ladi.

Endi tasodifiy miqdorni qat’iy ta’rifini keltiramiz.

elementar hodisalar fazosida aniqlangan sonli funksiya tasodifiy miqdor deyiladi, agar har bir elementar hodisaga sonni mos qo‘ysa, yani

Masalan, tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. Elementar hodisalar fazosi bo‘ladi. -gerb chiqishlari soni bo‘lsin, u holda tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlari:

Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot
funksiyasi

Bir o‘lchovli tasodifiy miqdorlardan tashqari, mumkin bo‘lgan qiymatlari 2 ta, 3 ta, ..., ta son bilan aniqlanadigan miqdorlarni ham o‘rganish zarurati tug‘iladi. Bunday miqdorlar mos ravishda ikki o‘lchovli, uch o‘lchovli, … , o‘lchovli deb ataladi.

Faraz qilaylik, ehtimollik fazosida aniqlangan
tasodifiy miqdorlar berilgan bo‘lsin.

vektorga tasodifiy vektor yoki -o‘lchovli tasodifiy miqdor deyiladi. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdor har bir elementar hodisa ga ta tasodifiy miqdorlarning qabul qiladigan qiymatlarini mos qo‘yadi.

o‘lchovli funksiya
tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki
tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi.

Qulaylik uchun taqsimot funksiyani
indekslarini tushirib qoldirib, ko‘rinishida yozamiz.

funksiya tasodifiy vektorning taqsimot
funksiyasi bo‘lsin. Ko‘p o‘lchovli taqsimot funksiyaning asosiy
xossalarini keltiramiz:

1. ya’ni taqsimot funksiya chegaralangan.

2. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas va chapdan uzluksiz.

3. Agar biror bo‘lsa, u holda

(1.1)

4. Agar biror bo‘lsa, u holda . 3-xossa yordamida keltirib chiqarilgan (1.1) taqsimot funksiyaga marginal(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi. tasodifiy vektorning barcha marginal taqsimot funksiyalari soni

ga tengdir.

Masalan, ikki o‘lchovlik tasodifiy vektorning marginal taqsimot funksiyalari soni ta bo‘lib, ular quyidagilardir:

Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni

ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor taqsimot qonunini

(1.2)

formula yordamida yoki quyidagi jadval ko‘rinishida berish mumkin:

bu yerda barcha ehtimolliklar yig‘indisi birga teng, chunki
birgalikda bo‘lmagan hodisalar to‘la guruppani tashkil etadi (1.2) formula ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, yuqoridagi jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.

ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa, har bir komponentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini toppish mumkin. Har bir uchun hodisalar birgalikda bo‘lma-gani sababli:

Demak,

Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari

Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini orqali belgilaymiz.

Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi, va sonlarning har bir jufti uchun va hodisalarning birgalikdagi ehtimolligini aniqlaydigan funksiyasidir: ya’ni

(1.3)

(3) tenglikning geometrik tasviri rasmda keltirilgan.

ikki o‘lchovlik diskret tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi quyidagi yig‘indi orqali aniqlanadi:

(1.4)

Ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining xossalari:

1. taqsimot funksiya chegaralangan: .
2. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas:

agar bo‘lsa,
agar bo‘lsa,

3. funksiyaning biror argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda funksiya nolga teng,

4. Agar funksiyaning bitta argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda

(1.5)

5. Agar ikkala argumenti bo‘lsa(limit ma’nosida), u holda

6. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha chapdan uzluksiz, ya’ni

Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi

va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deiladi, agar , uchun va hodisalar bog‘liqsiz bo‘lsa.

Endi tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligining zarur va yetarli shartini keltiramiz.

Teorema. va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun

(2.1)

tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. Agar va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, va hodisalar ham bog‘liqsiz bo‘ladi. U holda ya’ni

Yetarliligi. (2.1) tenglik o‘rinli bo‘lsin, u holda bo‘ladi. Bu tenglikdan va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligi kelib chiqadi.
1-natija. va uzluksiz tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uchun

(2.2)

tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zarurligi. Agar va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lsa, u holda (1) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikni bo‘yicha, keyin esa bo‘yicha differensiyallab, tengliklarni, ya`ni hosil qilamiz.

Yetarliligi. (2.2) tenglik o‘rinli bo‘lsin. Bu tenglikni bo‘yicha va
bo‘yicha integrallaymiz:

Bu esa tenglikning o`zidir. Teoremaga ko`ra va tasodifiy miqdorlar bog‘liqsizligi kelib chiqadi.

2-natija. va diskert tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo`lishi uchun ixtiyoriy larda

(2.3)

tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.

Shartli taqsimot qonunlari

ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdorni tashkil etuvchi va tasodifiy miqdorlar bog‘liq bo‘lsa, ularning bog‘liqligini xarakterlovchi shartli taqsimot qonunlari tushunchalari keltiriladi.

ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor birgalikdagi taqsimot qonuni bo‘lsin. U holda

(2.4)

ehtimoliklar to‘plami, ya’ni lar tasodifiy miqdorning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi. Bu yerda

Xuddi shunday,

(2.5)

ehtimolliklar to‘plami, ya’ni lar tasodifiy miqdorning dagi shartli taqsimot qonuni deyiladi.

Misol. ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdorni birgalikdagi taqsimot jadvali berilgan:

Quyidagilarni toping: a) va tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlari; b) tasodifiy miqdorning dagi shartli taqsimot qonuni

a) va tengliklardan:

0,1 0,2 0,60 0,40	1	2	3
	0,28	0,10	0,54

b) (5) formulaga asosan:

tasodifiy miqdorning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni quyidagiga teng:

Endi (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor uzluksiz bo‘lgan holni ko‘ramiz. tasodifiy miqdorning birgalikdagi zichlik funksiyasi, va lar esa va tasodifiy miqdorlarning alohida zichlik funksiyalari bo‘lsin.

tasodifiy miqdorning bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi

(2.6)

ifodaga orqali aniqlanadi.

Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining

kabi xossalariga egadir.

Xuddi shunday, tasodifiy miqdorning bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi

(2.7)

tenglik orqali aniqlanadi.

(2.6) va (2.7) tengliklarni hisobga olib, zichlik funksiyani
quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

(2.8)

(2.8) tenglik zichlik funksiyalarning ko‘paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi.

Ikki o`lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari.

tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‘riladi. Amaliyotda eng ko‘p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.

Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi bo‘lib, bu yerda

(3.1)

va

Agar tasodifiy miqdorlar uzluksiz bo‘lsa, u holda

(3.2)

X va Y tasodifiy miqdorlarning kovariatsiyasi

(3.3)

tenglik bilan aniqlanadi. Agar tasodifiy miqdorlar diskret bo‘lsa, uning kovariatsiyasi

(3.4)

agar uzluksiz bo‘lsa,

(3.5)

formulalar orqali hisoblanadi.

Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:

(3.6)

Bu tenglik (3.3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:

Kovariatsiya orqali X va tasodifiy miqdorlarning dispersiyalarini aniqlash mumkin:

vektorning kovariatsiya matritsasi

ifoda bilan aiqlanadi.

Kovariatsiyaning xossalari:

1. ;

2. Agar X Y ⊥ bo‘lsa, u holda ;

3. Agar X va ixtiyoriy tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda

4. yoki

5. 

6. 

3-xossaga ko‘ra, agar bo‘lsa, va tasodifiy miqdorlar bo‘gliq bo‘ladi. Bu holda va tasodifiy miqdorlar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin ekanligidan va tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, va tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‘rinli emas.

va tasodifiy miqdorlarning korrelatsiya koeffitsienti

(3.7)

formula bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari

1. ya`ni

2. Agar X Y ⊥ bo‘lsa, u holda ;

3. Agar bo‘lsa, u holda va tasodifiy miqdorlar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.

Shunday qilib, bogliqsiz tasodifiy miqdorlar uchun , chiziqli bog‘langan tasodifiy miqdorlar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, tasodifiy miqdorlar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi.

Ba’zi muhim ikki o‘lchovlik taqsimotlar

Doiradagi tekis taqsimot. Radiusi bo‘lgan doirada tasodifiy miqdor tekis taqsimotga ega bo‘lsin.

Demak, ning birgalikdagi zichlik funksiyasi

O‘zgarmas ni

ya`ni

shartdan aniqlaymiz. Bu karrali integralni geometrik ma'nosidan kelib chiqqan
holda hisoblash osonroq.

sirt va tekislik bilan chegaralangan jismning hajmi 1 ga tengdir.
Bizning holda bu asosi va balandligi bo‘lgan silindr hajmidir.
Dеmаk, vа izlаnаyotgаn zichlik funksiyasi

Ungа mоs taqsimot funksiyani hisоblаymiz:

Tаbiiyki, bu intеgrаl dоirа bilаn uchi nuqtаdа bo‘lgаn -kvаdrаntning аniqligidа kеsishishidаn hоsil bo‘lgаn sоhа yuzаsigа tеngdir. Tаbiiyki, dа chunki bu hоldа , endi vа dа chunki bu hоldа -
sоhа dоirа bilаn ustmа-ust tushаdi.

Endi vа lаrning mаrginаl taqsimot funksuyalаri vа lаrni
hisоblаymiz: dа

Dеmаk,

Аynаn shungа o‘хshаsh

Nihоyat, vа lаrning mаrginаl zichliklаrini hisоblаymiz:

vа shu kаbi

Ko‘rinib turibdiki, dеmаk, vа bоg‘liq tasodifiy miqdorlаr ekаn.

Shuni tа’kidlаb o‘tish lоzimki, tеkis tаqsimоtgа egа bo‘lgаn hаr qаndаy
juftlik dоimо bоg‘liq bo‘lаdi dеb аytish nоto‘g‘ridir. Chunki vа lаrning bоg‘liqlik хоssаlаri ulаr qаndаy sоhаdа tеkis tаqsimоtgа egа ekаnligigа bоg‘liqdir

Xulosa

Shunday qilib, men “Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar” mavzusiga kurs ishi yozish davomida tasodifiy miqdor haqida tushunchaga ega bo`ldim. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyalari, ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonunilar, ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari, tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi, shartli taqsimot qonunlari va ikki o`lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. haqida o`rgandim.

Men ushbu kurs ishini yozish davomida, ko`plab yangi bilim va tushunchalarga ega bo`ldim. A.A.Abdushukurovning “Ehtimollar nazariyasi va Matematik statistika” Toshkent “Universitet” 2010 va Sh.Q. Farmanov, R.M. Turgunbayev, L.D. Sharipova, N.T. Parpiyeva. Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statika kitoblarini va boshqa darsliklarni sinchiklab o`rganib ta`riflar, teoremalar kurs ishimga kiritdim. Foydalanilgan adabiyotlarimdagi misollarni ishlab, ularni o`rganib chiqdim.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. Sh.Q. Farmanov, R.M. Turgunbayev, L.D. Sharipova, N.T. Parpiyeva. Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statika. Toshkent. “Tafakkur-bo`ston”. 2012

2. A.A.Abdushukurovning “Ehtimollar nazariyasi va Matematik statistika” Toshkent “Universitet” 2010

3. Аbdushukurov А.А. Xi-kvadrat kriteriysi: nazariyasi va tatbiqi, O‘zMU, 2006.

4. Аbdushukurov А.А., Azlarov T.A., Djamirzayev A.A. Ehtimollar nazariyasi

va matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami. Toshkent «Universitet», 2003.

5. Azlarov T.A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan Inglizcha-ruscha-o‘zbekcha lug‘at. Toshkent: «Universitet», 2005.

6.http://www.nsu.ru/icem/grants/etfm/;