Конспект урока "Арифметическая прогрессия"

Конспект открытого урока по алгебре на тему:

«Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии»

Учитель математики

МБОУ «Косиновская ООШ»

Малыхина Валентина Васильевна

Класс:   9

Тип урока:          урок изучения нового материала

Цель: Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов

последовательностей, вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Задачи:

Образовательные:

- выделить из множества числовых последовательностей арифметическую прогрессию;

    - дать чёткое определение арифметической прогрессии;

    - вывести формулу n-го члена прогрессии;

    - на примерах осуществить первичную отработку применения формулы n-го члена

арифметической прогрессии.

Развивающие: - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; - формировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации; - развивать аналитическое мышление учащихся.

Воспитательные: – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды; - формировать навыки сотрудничества, воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арифметическая прогрессия», листы самооценки.

План урока

1. Организационный момент (1 мин)

2. Актуализация опорных знаний. (10 мин)

3. Изучение нового материала (12 мин)

4. Первичное закрепление знаний (18 мин)

5. Подведение итогов урока. (1 мин.)

6. Домашнее задание. (2 мин.)

7. Рефлексия (1 мин.)

Ход урока.

1. Организационный момент.

Приветствие учителя.

- Откройте тетради, запишите число. ( Слайд №2)

2. Актуализация опорных знаний (Слайды №3-4)

- С каким понятием мы познакомились на предыдущем уроке? (С понятием последовательности)

- Объясните, как вы понимаете, что такое последовательность. (Последовательность- это числовой ряд, заданный некоторой формулой или правилом)

- Какими могут быть последовательность? (Последовательности могут быть конечными и бесконечными)

- Приведите примеры конечных и бесконечных последовательностей (Последовательность четных положительных чисел 2; 4; 6; 8;…. бесконечна, последовательность двузначных чисел 10; 11; 12; 13; …конечна)

- Как называются числа, образующие последовательность? (Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности)

- Какие способы задания последовательностей вы знаете? (аналитический, рекуррентный,

словесный) - Что значит последовательность задана аналитически? (с помощью формулы)

- Что значит, последовательность задана рекуррентно? (когда любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предыдущие члены). – Словесный способ? (задание последовательности описанием).

-Задайте последовательность словесным способом (последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5: 0; 5; 10; 15; 20; 25;…)

Устная работа. - Последовательность (а_n) задана формулой а_n = 2n – 3. (Слайды №5-6) Найдите а_1, а₃ , а_{50 ,} a_k. (а₁ =-1; а₃ = 3; а₅₀ =97; a_k=2k -3)

Назовите три первых члена последовательности (с_n) , если с₁ =4; с_n+1 = с_n + 3. (с₁ =4; с₂ =7; с₃ =10) (Слайд №6)

-За каждый правильный ответ отвечающий получает 1 балл. - Возьмите листы самооценки и занесите число полученных баллов в колонку «Устная работа».

3. Изучение нового материала. (Слайд №7) - Какая закономерность наблюдается в каждой последовательности?

Рассмотрим последовательности:

(а_n): 2; 6; 10; 14; 18; 22;…..

(b_n): 6; 12; 18; 36; 42; 60;…

(c_n): -16; -13; -10; -7; -4;…

(x_n): 1; 4; 9; 16; 17; 25;…

- Найдите для каждой последовательности следующие два члена. - Почему для последовательностей ( b_n ) и (х_n ) нельзя этого сделать? (В данных последовательностях нет определенной закономерности, поэтому на следующих местах может стоять любое число).

- А можно ли из данных четырех последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общим признаком? (В последовательностях (а_n) и (c_n) каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число)

- Последовательности такого типа называются арифметическими прогрессиями. Они и будут предметом нашего сегодняшнего изучения. Сформулируйте тему урока.

(Первую часть темы учащееся легко формулируют. Вторую часть учитель может сформулировать сам)

- Сформулируйте цели урока, исходя из данной темы. (1. Дать определение арифметической прогрессии.

2. Вывести формулу n-ого члена арифметической прогрессии и рассмотреть основные типы задач на применение формулы n-ого члена арифметической прогрессии.) (Слайды №8. 9)

-  Немного истории. Термин «прогрессия» происходит от латинского progression, что означает «движение вперед», был введен римским автором Боэцием в 6 в.н.э. и получил дальнейшее развитие в трудах Фибоначчи, Шюке, Гаусса и других ученых. (Слайд 10) - Сделайте вывод: какая последовательность называется арифметической прогрессией?

(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом).  

- Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

( a_n ): a₁; a₂ ; a₃; …a_n… арифметическая прогрессия.

a_n=1 = a_n+ d

d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = … = a_n+1 - a_n (Слайды №11, 12)

4. Первичное закрепление знаний..

Задание 1. (Устно) (Слайд №13)  1) - Пусть a₁ = 8; d = 0.

- Назовите следующие 3 члена последовательности. (8; 8; 8)

- Такие последовательности называются постоянными или стационарными.

2) - Пусть a₁ = -15; d = 3. Назовите 3 члена данной последовательности. ( -12; -9; -6 ) - Правильно выполнившие все задание получают 2 балла; 1 задание – 1 балл.

Задание 2. (В парах, один ученик по желанию выполняет его с обратной стороны доски).

- В арифметической прогрессии a₁; a₂; 6; 4; а_5.  Найдите a₁; a₂; а₅. (Слайд №14)  

Решение:

d = 4 – 6 = -2
а₅ = а₄ + d = 4 – 2 = 2
а₂ = а₃ – d = 6 – (-2) = 8
а₁ = а₂ – d = 8 – (-2) = 10

- Правильно выполнившие все задание получают 4 балла; допустившие 1 ошибку – 3 балла; допустившие 2 ошибки – 2 балла; выполнившие 1 задание получают 1 балл.

- Укажите для данной последовательности а₁₇₆ (а₁₇₆ указать можно, но слишком долго считать)

-  Значит необходимо найти такой способ, который позволит нам быстро отыскивать любой член последовательности. Попробуйте вывести формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

(К доске можно вызвать сильного ученика и путем четко поставленных вопросов и помощи класса вывести формулу).

Вывод формулы: (Слайды №15, 16)  

а₂ = а₁ + d
а₃ = а₂ + d = а₁ + 2d
а₄ = а₃ + d = а₁ + 3d
………………………………..и т.д.

а_n = а₁ + (n – 1) d - формула n-ого члена арифметической прогрессии. 

- Итак, что необходимо знать для определения любого члена арифметической прогрессии? (а₁ и d)

Задание 3.

-  Пользуясь этой формулой, найдите а₁₇₆. (а₁₇₆ = а₁ + 175d = 10 +175 ∙ (- 2) = 10 – 350 = - 340)

Задание 4. (Слайды №17, 18) Пусть (а_n): арифметическая прогрессия, в которой а₁ - первый член, а d – разность. Найдите ошибки: - За каждую найденную ошибку – 1 балл. Результаты проверки занесите в лист самооценки.

-  Рассмотрим формулу n-ого члена арифметической прогрессии. (Слайд №19)  - Выясним, какие типы задач с использованием этой формулы можно решать. Сформулируйте прямую задачу. (По заданным значениям а₁ и d найти а_n.)

- Какие обратные задачи можно поставить? (1. Дано а₁ и а_n. Найти d. 2. Дано d и а_n. Найти а₁. 3. Дано а₁, d и а_n. Найти n.)

Задание 5. (Слайд №21)  Найдите разность арифметической прогрессии, в которой у₁ = 10; у₅ = 22

Решение у доски:

у₅ = у₁ + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d =3

(За правильное решение ученик у доски получает 1 балл)

- Два оставшихся типа обратных задач рассмотрим на следующем уроке.

-А сейчас самостоятельная работа. (Слайд №21)  

Задача. Студенты должны выложить плиткой мостовую. В первый день они выложили 3 м². Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий. Сколько м² уложат студенты в 15 день?

( Дано: а₁ =3; d =2. Найти: а_15.  Решение. а_n = а₁ + (n – 1) d; а₁₅ = 3 +14∙2= 31 м² )

-За правильное решение получаете 1 балл, заносите в листы самооценки.

Тест (с последующей самопроверкой). (Слайды №22, 23, 24) 1. Последовательности заданы несколькими первыми членами.

Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите её.

а) 1; 2; 3; 5;…

б) 1; 3; 5; 7;…

в) 1; 2; 4; 8;…

г) 1; ½; 2/3; ¾…

2. Найдите разность арифметической прогрессии (a_n),  если а₃ = 4,     а₄ = 8

а) -4                     б) 0,5                      в) 6                        г) 4

3. Первый член арифметической прогрессии (a_n) а₁ ; а₂ ; 4; 8;… равен

а) 0; б) 2; в) -4; г) -1 .

 4. Найдите пятый член арифметической прогрессии 3; 7;…

а) 19; б) 15; в)11 ; г) другой ответ.

 5. Найдите разность арифметической прогрессии (a_n) , если а₁ =16; а₈ =37;

а) 4; б) 5; в) 3 ; г) другой ответ. Проверка теста:

1 правильный ответ -1 балл.

1. – б; 2. – г; 3. – в; 4. – а; 5. – в

- А сейчас подсчитайте количество полученных за урок баллов и поставьте оценку по следующим критериям:

Общее количество Итоговая оценка

баллов        

            0 – 7                               2

            8 – 13                             3

            14 – 17                             4

            18 – 20                             5

5. Подведение итогов  урока. (Слайд № 25) Закончить урок я бы хотела словами

• Закончился XX век,
  Куда стремится человек,
  Изучен космос и моря,
  Строенье звезд и вся земля,
  Но математиков зовет
  Известный лозунг

“Прогрессия – движение вперед!”

Да, ребята, прогре́сс — это движение вперёд, к лучшему. Наши познания в курсе алгебры похожи на подъём по лестнице. И, сегодня, я думаю, мы с вами поднялись ещё на одну ступеньку, под названием «Арифметическая прогрессия».

 6. Домашнее задание. (Слайд № 26) 1). Ознакомиться с материалом п. 25 учебника. Выучить определение арифметической прогрессии и формулу n-ого члена. Уметь выражать из формулы все входящие в нее величины. 2). Выполнить по учебнику № 575 (а,б); 576; 578(а); 579(а).

3).Задание на дополнительную оценку: Составить задачу на тему «Арифметическая прогрессия. Формула n-ого члена»

7. Рефлексия. (Слайд № 27) В листах самооценки отметьте то предложение, которое, по вашему мнению, соответствует вашим ощущениям

1) я понял(а) тему урока

2) нужно еще поработать

3) я ( не) доволен(а) собой.

- Спасибо за урок, ребята. Вы сегодня хорошо потрудились.

Лист самооценки ФИ___________________________________