Конспект внеклассного мероприятия по алгебре на тему: «10 способов решения квадратных уравнений»

Конспект внеклассного мероприятия по алгебре на тему:

«10 способов решения квадратных уравнений»

Саранск 2018 г.

Внеклассное мероприятие по алгебре

для учащихся 8-х классов «10 способов решения квадратных уравнений»

Цели мероприятия:

– Знакомство с новыми методами решения квадратных уравнений;

– Углубление знаний по теме «Квадратные уравнения»;

– Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы;

– Создание условий для самореализации личности.

Задачи мероприятия:

– Познакомить учащихся с новыми способами решения квадратных уравнений;

– Закрепить умения решать уравнения известными способами;

– Ввести теоремы, позволяющие решать уравнения нестандартными способами;

– Продолжить формирование общеучебных навыков, математической культуры;

– Содействовать формированию интереса к исследовательской деятельности;

– Создать условия для учащихся в реализации и развитии интереса к предмету математика

– Подготовить учащихся к правильному выбору профильного направления

Оборудование и материалы:

– Приборы и инструменты для выполнения чертежей и рисунков

– Компьютер и мультимедийный комплекс

Тип мероприятия: Познавательный урок

Требования к учащимся:

Минимальные требования к оснащению курса: раздаточный материал для проведения практических и самостоятельных работ. Для контроля достижений используются наблюдение активности учащихся на уроке, тестирование.

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

– теоремы о свойствах коэффициентов квадратного уравнения;

– 10 различных способов решения уравнений;

– различные формулы для решения уравнения.

Должны уметь:

– уверенно применять формулы, способы, теоремы для решения квадратных уравнений;

– понимать лексику, связанную с предметом;

– строить, читать, понимать графики;

– при вычислении применять устные и письменные приемы;

– пользоваться современными техническими средствами обучения.

Ход мероприятия

Данное мероприятие предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса и решение типовых задач. На мероприятии будет использоваться фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса, что позволяет развивать точную, лаконичную речь, способность работать в быстром темпе. Программа мобильна, т.к. дает возможность уменьшить количество задач при успешном усвоении метода, а блочная подача позволит учащемуся, пропустившему урок, приступать к работе, не испытывая затруднений. Отличительной особенностью мероприятия является знакомство с методами решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки и способом «номограмм».

(СЛАЙД №5). Немного из истории…

– Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

– Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

– Квадратные уравнения в Индии.

– Квадратные уравнения у ал - Хорезми.

– Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

(СЛАЙД №6). Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

(СЛАЙД №7). Квадратные уравнения в Индии.

(СЛАЙД №8). Квадратные уравнения у ал – Хорезми.

(СЛАЙД №9). Квадратные уравнения в Европе XIII – XVII вв.

(СЛАЙД №10)

. Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603) был по профессии адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришёл к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет.

Благодаря его труду, алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на буквенном исчислении. Поэтому стало возможным выражать свойства уравнений и их корней общими формулами.

(СЛАЙД №12). Разложение на множители левой части уравнения

• Решим уравнение х² + 10х – 24 = 0.

• Разложим на множители левую часть: х² + 10х – 24 = х² + 12х -2х – 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = =(х + 12)(х - 2).

(х + 12)(х - 2) = 0

х + 12 = 0 или х – 2 = 0

х = -12 х = 2

Ответ: х₁= -12, х₂ = 2.

• Решить уравнения: х² - х = 0

x² + 2х = 0

х² - 81 = 0

х² + 4х + 3 = 0

х² + 2х – 3 = 0

(СЛАЙД №13). Метод выделения полного квадрата

• Решим уравнение х² + 6х – 7 = 0

х² + 6х – 7 = х² + 2х*3 + 32 - 32 – 7 = (х-3)2 - 9- 7 = (х-3)2 - 16

(х-3)2 -16=0

(х-3)2 =16

х-3 = 4 или х-3 = -4

х = 1 х = -7

Ответ: х₁=1, х₂ = -7.

• Решить уравнения: х² - 8х+15 = 0

х² +12х +20 = 0

х² + 4х + 3 = 0

х² + 2х – 2 = 0

х² - 6х + 8 = 0

(СЛАЙД №14). Решение квадратных уравнений по формуле

Основные формулы:

Если b – нечетное, то D= b²-4ac и х_1,2 = , (если D0)

Если b – четное, то D₁= и х_1,2 = , (если D0)

Решите уравнения: 2х² - 5х + 2 = 0

6х² + 5х +1 = 0

4х² - 5х + 2 = 0

2х² - 6х + 4 = 0

х² - 18х +17 = 0

(СЛАЙД №15). Решение уравнений способом переброски

Решим уравнение ах² +bх+с=0. Умножим обе части уравнения на а, получим а²х²+аbх+ас=0. Пусть ах =у, откуда х = у/а. Тогда y² +bу+ас=0. Его корни у₁ и у₂ . Окончательно х₁ = у₁ /а, х₂ = у₂ /а.

Решим уравнение 2х² -11х + 15=0.

Перебросим коэффициент 2 к свободному члену:

y² -11у+30=0.

Согласно теореме Виета у₁ =5 и у₂ =6.

х₁ =5/2 и х₂ =6/2

х₁ =2,5 и х₂ =3

Ответ: х₁=2,5 , х₂ =3

Решить уравнение: 2х² -9х +9=0

10х² -11х + 3=0

3х² +11х +6=0

6х² +5х - 6=0

3х² +1х - 4=0

(СЛАЙД №16). Решение уравнений с помощью теоремы Виета

Решим уравнение х² +10х-24=0.

Так как х₁ *х₁ =-24

х₁ +х₂ = -10, то 24= 2*12, но -10= -12+2, значит

х₁ =-12 х₂ =2

Ответ: х₁=2, х₂ =-12.

Решить уравнения: х² - 7х - 30 =0

х² +2х - 15=0

х² - 7х + 6=0

(СЛАЙД №17). Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Если a+b+c=0, то х₁ = 1, х₂ = с/а Если a – b + c=0, то х₁ =-1, х₂ = -с/а

Решим уравнение х² + 6х - 7= 0 Решим уравнение 2х² + 3х +1= 0

1 + 6 – 7 =0, значит х₁=1, х₂ = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, значит х₁= - 1, х₂ = -1/2

Ответ: х₁=1, х₂ =-7. Ответ: х₁=-1, х₂ =-1/2.

Решить уравнения: 5х² - 7х +2 =0 Решить уравнения: 5х² - 7х -12 =0

11х² +25х - 36=0 11х² +25х +14=0

345х² -137х -208=0 3х² +5х +2=0

3х² +5х - 8=0 5х² + 4х - 1=0

5х²+ 4х - 9=0 х² + 4х +3=0

(СЛАЙД №18). Графическое решение квадратного уравнения

• Решим уравнение х² +2х - 3=0

Записать уравнение в виде х² =3-2х

В одной системе координат

построить график функции у =х² ,

построить график функции у =3-2х.

Обозначить абсциссы точек пересечения.

Ответ: х₁=1, х₂ =-3.

Решить уравнение: х² -х - 6=0

х² - 4х + 4=0

х² +4х + 6=0

х² -2х - 3=0

х² +2х - 3=0

(СЛАЙД №19). Решение уравнений с помощью циркуля и линейки

Решим уравнение aх² +bх+c=0:

• Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a) – центр окружности и точку А(0,1)

• Провести окружность радиуса SA

• Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения

(СЛАЙД №20). Геометрический способ решения уравнения

• Решим уравнение y² - 6у - 16=0

Представим в виде y² - 6у = 16. На рис.

«изображено» выражение y²- 6у , т.е.

из площади квадрата со стороной у

дважды вычитается площадь квадрата

со стороной 3. Значит y²–6у+9 есть

площадь квадрата со стороной у-3.

Выполнив замену y²- 6у = 16, получим

(у-3)2 =16+9

у-3=5 или у-3=-5

у₁=8 у₂ =-2 Решить уравнение y² +6у - 16=0

Ответ: у₁ =8 , у₂ =-2

(СЛАЙД №21). Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений (см. Брадис В.М.)

Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию

,

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

● Примеры

1. Для уравнения

z² – 9z + 8 = 0.

Номограмма дает корни

z₁ = 8, 0 и z₂ = 1, 0 (рис. 12).

2. Решим с помощью номограммы

номограммы уравнение

2z² – 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого

уравнения на 2,получим уравнение

z^{2 –} 4, 5 + 1 = 0.

Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5.