Конспект урока "Сонаправленность полупрямых" по учебнику Погорелова А.В., 8 класс

Урок 56

Тема: Сонаправленность полупрямых

Цель:

 ввести понятие сонаправленных и противоположно направленных прямых;

 научить выполнять упражнения на определение и доказательство одинаково и противоположной направленности прямых;

 содействовать рациональной организации труда учащихся.

Ход урока.

1. Оргмомент.

2. Актуализация опорных знаний.

1. При параллельном переносе точка (5;5) переходит в точку (– 2; 12). В какую точку при этом параллельном переносе переходит точка (– 1; 3)?

(Ответ: (– 8; 10))

1. Существует ли параллельный перенос, при котором точка (2;3) переходит в точку (3; 2), а точка (1;4) переходит в точку (4; 1)?

(Ответ: нет.)

1. Формирование новых понятий.

Две полупрямые называются одинаково направленными или сонаправленными, если они совмещаются параллельным переносом. То есть существует параллельный перенос, который переводит одну полупрямую в другую.

Если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже одинаково направлены (рис. 203).

Дано: a и b – одинаково направлены, b и c – одинаково направлены.

Доказать: a и c – одинаково направлены.

Доказательство: Действительно, пусть параллельный перенос, задаваемый формулами

х'= х + m, у'= у + n,(*) переводит полупрямую а в полупрямую b,

а параллельный перенос, задаваемый формулами х"=х' + m₁ у" = у' + n₁ (**)

переводит полупрямую b в полупрямую с.

Рассмотрим параллельный перенос, задаваемый формулами

х" = х + m + m₁, у" = у + n + n₁.(***)

Утверждаем, что этот параллельный перенос переводит полупрямую а в полупрямую с. Докажем это.

Пусть (х; у) — произвольная точка полупрямой а. Согласно формулам (*)

точка (х + m; у + n) принадлежит полупрямой b. Так как точка (х+m; у + n) принадлежит полупрямой b, то согласно формулам (**) точка (x + m + m₁; у + n + n₁) принадлежит полупрямой с. Таким образом, параллельный перенос, задаваемый формулами (***), переводит полупрямую а в полупрямую с. А это значит, что полупрямые а и с одинаково направлены, что и требовалось доказать.

Две полупрямые называются противоположно направленными, если каждая из них одинаково направлена с полупрямой, дополнительной к другой (рис. 204).

1. Формирование умений и навыков.

Задача (32). Прямые АВ и CD параллельны. Точки А и D лежат по одну сторону секущей ВС. Докажите, что лучи ВА и CD одинаково направлены.

Решение. Подвергнем луч CD параллельному переносу, при котором точка С переходит в точку В (рис. 205). При этом прямая CD совместится с прямой ВА. Точка D, смещаясь по прямой, параллельной СВ, остается в той же полуплоскости относительно прямой ВС. Поэтому луч CD совместится с лучом ВА, а значит, эти лучи одинаково направлены.

Задача (34).

1. Итог урока.

• Какие полупрямые называются сонаправленными?

• Какие полупрямые называются противоположно направленными?

• Продолжите предложение: если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и с одинаково направлены, то полупрямые ___и___ _________ .

1. Домашнее задание. п.89, вопросы 19 – 21; № 33.