Раздел | Формулы сложения. |
Тема урока | Косинус разности и косинус суммы двух углов. |
Цель урока | Создать условия для потребности в новых тригонометрических формулах - косинус суммы и разности двух углов при вычислении тригонометрических выражений; способствовать развитию умений применять новые формулы при решении тригонометрических выражений. |
Планируемый результат | Предметные умения | УУД |
Личностные | Регулятивные | Коммуникативные | Познавательные |
- формирование знания вычислять косинус суммы и разности двух углов; - умение применять полученные знания в решении задач; - способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений; - умение работать с математическим текстом, давать определения, выделять главное, систематизировать и обобщать, сравнивать. | - понимать и оценивать свой вклад в решении задач; - быть толерантным к чужим ошибкам и другому мнению; - не бояться собственных ошибок; - создавать позитивное эмоциональное отношение обучающегося к уроку и предмету; - способствовать развитию у обучающегося осознания осваиваемого на уроке приема учебной деятельности, как ценности. | - принимать участие в обсуждении и формулировании темы и цели урока, конкретного задания, полученного результата; - выполнять работу в соответствии с заданным планом; - способствовать развитию у обучающегося самоконтроля учебной деятельности. | - излагать свое мнение, участвовать в диалоге; - способствовать развитию у обучающегося оценивания ситуаций взаимодействия в соответствии с правилами поведения и этики. | - формулирование проблемы, анализ с целью выделения признаков, построение логической цепи рассуждений; - способствовать развитию у обучающегося поиска и распознавания полезной информации (на основе наблюдения и оценки выявленных закономерностей). |
Основные понятия | тригонометрия, градусная и радианная мера угла, косинус. |
Межпредметные связи | Математика, черчение. |
Ресурсы (оборудование) | Алгебра и начала математического анализа 10 класс, авторы: С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М: Просвещение, 2014; линейка, карандаш, доска. |
Тип урока | Урок изучения нового материала. |
Организация пространства | Фронтальная работа, работа в парах, индивидуальная работа. |
Этапы урока | Задачи этапа | Деятельность | Формируемые УУД |
учителя | обучающихся |
1.Организацион-ный. | Информировать о подготовке к уроку; создать деловой, благоприятный психологический настрой на работу на уроке. | Приветствие учащихся. Проверка готовности класса к уроку. Подготовка к уроку, концентрация внимания. Помогает сосредоточиться на изучаемой теме. Создает положительную мотивацию. -Ребята, здравствуйте! Как прекрасно вы сегодня выглядите, спасибо! Я вижу вы настроены на урок. -На каждом уроке мы с вами учимся мыслить, применять наши знания для решения различных задач. Открываем тетради, записываем число и классная работа! | Приветствуют учителя. Демонстрируют готовность к уроку. Включаются в деловой ритм урока. Участвуют в беседе. Учащиеся объясняют смысл высказывания. | Личностные: самоопределение. Регулятивные: уметь ориентироваться в требованиях к уроку математики. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. |
2. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности | Создание условий для возникновения внутренней потребности к деятельности. | Организует подводящий к теме урока диалог: - Давайте вспомним, что мы изучали на прошлых уроках? - Чтобы продуктивно работать на уроке, давайте проверим уже имеющиеся у нас знания! | Отвечают на вопросы. | Коммуникативные: уметь устно формулировать свои мысли. Личностные: проявлять учебно - познавательный интерес к новому учебному материалу. Познавательные: ставят перед собой цель: «Что я хочу получить сегодня от урока». |
3. Актуализация опорных знаний. | - актуализация опорных знаний и способов действий; - вовлечение обучающихся в конкретную деятельность. | Создает условия для актуализации учебной деятельности. -Сегодня самостоятельно предстоит открыть новые знания. Перед тем как совершить открытие, давайте проверим себя, всё ли было понятно и усвоено на предыдущих уроках, имеются ли слабые места. Для этого проведём разминку Фронтальный опрос: 1) Какой раздел математики мы сейчас изучаем? 2) Какие единицы измерения углов вы знаете? 3) В каких четвертях единичной окружности косинус принимает положительное значение? 4) Какая тригонометрическая функция является четной? 5) Упростить: а) cos ( - α); б) sin(- α). 6) Вычислить: а) cos 30o; б) 2sin 300; в) cos 15o. - С какими трудностями встретились при выполнении этой работы? - Почему мы не можем вычислить задание в)? - Предположили можно угол разложить на другие углы. - Через какие известные нам значения мы могли бы выразить 15 градусов? - Т.е у нас возникла проблема. cos 15o = cos (450 - 300) - Как прочитать получившееся выражение? - Как же можно вычислить косинус разности? - А зачем это нужно знать? | Слушают учителя. Участвуют в работе по повторению, в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы. Ответы учащихся: 1.тригонометрия 2.градусная, радианная 3. 1 и 4 коорд. четвертях; 4. косинус 5. а) cos α; б) –sinα. 6. а) 1,5; б) 1; в) возможны затруднения Предполагаемый ответ: записать формулу, по которой это можно будет сделать. 150 = 450- 300 - Косинус разности 450 и 300 Предполагаемый ответ: записать формулы, по которым это будет возможным сделать, чтобы научиться решать подобные примеры. | Коммуникативные: формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации. Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности. Личностные: формировать навыки самоанализа и самоконтроля. Познавательные: формировать умения находить ответы на поставленные вопросы; понимать смысл поставленной задачи. |
4. Целеполагание и мотивация. | - обеспечение мотивации учения обучающимися, - подведение детей к формулированию темы и постановке целей урока. | Молодцы! Ставит проблему и подводит к теме урока. Акцентирует внимание обучающихся на значимость темы. - Итак, тема урока « Косинус суммы и разности аргументов». - Какую цель поставим перед собой? 1) вывести формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов; 2) научиться применять эти формулы при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений. - Эта тема играет немаловажную роль, поскольку она имеет непосредственную связь с последующими темами курса математики. | Определяют вместе с учителем цель урока. | Коммуникативные: формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации. Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности. Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности. Познавательные: уметь выделять существенную информацию из разной информации. |
5. Первичное усвоение новых знаний. | - подготовить обучающегося к активному участию при выводе формул для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов. | - Вывод формулы косинуса суммы и разности двух аргументов: Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов ОВ и ОС. Пусть координаты точки В (х1; y1), координаты точки С (х2; y2). Из геометрии вспомним определение скалярного произведения векторов =х1х2 + y1y2 (1) Выразим скалярное произведение векторов ОВ и ОС через тригонометрические функции углов α и β Из определения косинуса и синуса следует, чему равны х1,х2 ,y1 ,y2? -Что нужно сделать, чтобы равенство (1) имело другой вид? =R2cos α cosβ + R2sin α sinβ = = R2(cos α cosβ + sin α sinβ). - Теперь давайте посмотрим с другой стороны, как найти скалярное произведение векторов через косинус угла? =| ОВ| ∙|OC|∙cos ВОС (2) - Как выразить ВОС через α и β? - Запишем равенство (2): = R2∙cos(α – β) - Что же мы получили? - Итак, мы получили cos(α – β) = cos α ∙ cosβ + sin α ∙ sinβ - Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной: Запишите ( α + β) через разность α – (-β), подставим в формулу cos(α – (-β)) = =cosα∙cos(-β)+sinα∙sin(β)=cosα∙cosβ - sinα ∙sinβ - Итак, cos(α+β) = cos α∙ cosβ - sin α ∙ sinβ | Принимают участие в диалоге с учителем х1 = R cos α, y1 = R sin α, х2 = R cos β, y2 = R sin β. - Подставить значения в правую часть. ВОС= α — β R2(cosα ∙ cosβ + sinα ∙ sinβ)=R2 cos(α – β) - разделим обе части на R2, получим cos α ∙ cosβ + sin α ∙ sinβ = cos(α – β) Разделились на группы и выводят самостоятельно | Коммуникативные: уметь четко и грамотно выражать свои мысли при обсуждении изучаемого материала, слушать и понимать речь других. Регулятивные: сознательно организовывать свою познавательную деятельность; выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала. Личностные: формировать интерес к изучаемому содержанию. Познавательные: уметь строить рассуждения в форме простых суждений об объектах, устанавливать причинно следственные связи. |
6. Первичная проверка понимания. | - установление правильности и осознанности изучения темы; - выявление пробелов первичного осмысления изученного материала; - коррекция выявленных пробелов. | Вернемся к примеру, который предлагался в начале урока. cos 15o = cos (450-300) = = cos450·cos300 + sin 450·sin300 = = Учитель предлагает задание: cos750 = cos(450+300) = cos450·cos300 – sin450·sin300 = = | Отвечают на вопросы учителя. Решают задания на доске и в тетради. Учащиеся проводят самоанализ своей деятельности. Описывают свои впечатления и действия; формулируют свои затруднения. Проводят осмысление своей работы. | Коммуникативные: уметь четко и грамотно выражать свои мысли; строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами. Регулятивные: выстраивать алгоритмы деятельности; оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей. Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности. Познавательные: воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения учебных задач. |
7. Первичное закрепление. | - обеспечение закрепления в памяти обучающихся знаний и способов действий, которые ему необходимы для дальнейшего решения и самостоятельной работы. | Организует общую работу над решением примеров. - Формулу можно применять как слева направо, так и наоборот. №1 Вычислить: 1) cos370 ∙ cos80-sin370∙ sin80 = cos(370 + 80) = cos 450 = 2) Найди ошибку cos10700 ∙ cos1700 + sin1070 ∙ sin170 = = cos (1070 + 170) = cos1240 №2 Вычислить , если известно что Решение: По условию аргумент y принадлежит второй четверти, а в ней синус положителен. Поэтому , | Отвечают на вопросы учителя. Решают задания на доске и в тетради, осуществляют взаимопроверку. Оценивают свою работу. | Коммуникативные: уметь четко и грамотно выражать свои мысли; строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами. Регулятивные: удержать цель деятельности до получения ее результата. Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности. Познавательные: формировать умения по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов. |
8. Рефлексия учебной деятельности. | - инициировать рефлексию обучающегося по поводу психоэмоциональ-ного состояния, мотивации, его собственной деятельности и взаимодействия с учителем. | Учитель предлагает оценить работу на уроке! - урок очень понравился, мне все было понятно; - урок вызвал интерес, я все вспомнил, что учили ранее, но есть вопросы, по которым нужна консультация; - урок помог привести в систему знания, но дома некоторые задания самостоятельно выполнить не смогу; - урок не понравился, нужна консультация. | Отвечают на вопросы учителя. Рассказывают, что повторили, узнали, смогли выполнить. Осуществляют самооценку. Обучающиеся высказывают своё мнение. | Личностные: самоопределение. |
9. Подведение итогов. | Дать качественную оценку работы обучающихся. | - Подведём итоги урока. Выставляет оценки с комментированием успешных и неуспешных действий учащихся. Обращая внимание на недочеты. Предлагает определиться с достижением поставленных целей, оценить причины неуспеха, пути решения. Организует обсуждение. - Какую цель ставили перед собой на уроке? - Смогли ли ее достичь? Продолжи фразы: - сегодня на уроке я узнал … - сегодня на уроке я научился… - сегодня на уроке я повторил… - сегодня на уроке мне было трудно... - Как вы считаете, достаточно хорошо научились применять эти формулы или стоит продолжить отработку навыков применения на следующем уроке? | Обучающиеся отвечают на поставленные вопросы. Оценивают достижение целей. | Регулятивные: осуществлять самоконтроль. Коммуникативные: высказывать свои суждения, доказывать правоту; аргументировать, формулировать выводы на основе анализа предметного материала. Познавательные: систематизировать, обобщить изученное; анализировать, синтезировать и сравнивать информацию. |
10. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению. | - обеспечение понимания обучающимся цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. | Учитель обращает внимание на Д/З, записанное в электронной тетради. - На следующем уроке мы продолжим отработку применения этих формул. №1. Вычислите: cos 47o ∙ cos 17o + sin 47o ∙ sin 17o №2.Вычислите косинусы углов: а) 150о; б)135о №3. Вычислите: cos (x + y), если известно, что sin x = 3/5, 0 /2 ; cos y = – 3/5, /2 п.9.1(выучить формулы) №№9.7(аб); 9.10(а); 9.11(а); 9.12(аб); 9.14(ав); 9.15(а); 9.18(а)(подготовиться к с/р по п.9.1) | Обучающиеся просматривают д/з и задают вопросы. | Личностные: проявлять творческую активность при решении учебной задачи. Познавательные: уметь осуществлять выбор наиболее эффективных способах решения задач. |