Краткий курс лекций по теме: «Вычисление логарифма числа с помощью таблиц»

14

Методическое пособие для студентов

Краткий курс лекций по теме:

«Вычисление логарифма числа с помощью таблиц»

УПУ.01 МАТЕМАТИКА

(углубленный уровень подготовки)

по специальности

среднего профессионального образования

15.02.14 «Оснащение средствами автоматизации технологических

процессов и производств (по отраслям)»

(технологический профиль)

2023

Содержание

Пояснительная записка

Настоящее пособие предназначено для студентов как дневных, так и заочных отделений колледжа, а также может быть использовано для самостоятельного изучения темы, закрепления пройденного материала, овладения способами и методами решения задач в объеме действующей программы по математике для средних профессиональных учебных заведений.

Целью и основными задачами данной разработки являются пополнение знаний студентов основами математических знаний, умений и навыков в объеме, необходимом для их повседневной практической деятельности, для дальнейшей учебы и работы по специальности, для усвоения общетехнических и специальных предметов, а также для дальнейшего повышения квалификации путем самообразования, обеспечение выпускнику конкурентоспособности на рынке труда.

Изучение темы «Вычисление логарифма числа с помощью таблиц» направлено на развитие гибкости мышления студентов, на привитие алгоритмической культуры.

Решение задач по математике у студентов колледжей часто сопряжено со многими трудностями. Помочь студентам преодолевать эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач – основное назначение настоящего пособия.

Пособие содержит программный материал. В данном пособии весь теоретический материал изложен доступно для большинства учащихся. Это способствует решению важной педагогической задачи – научить работать с источником.

В работе представлены теоретические сведения, необходимые для усвоения материала и решения задач.

В пособии даны алгоритмы решений типовых задач. Алгоритм – это совокупность четко определенных правил решения задач за конечное число шагов или последовательность выполняемых действий. Алгоритмы развивают логику, являются основой составления программ в работе с компьютером; алгоритмы используются в любой сфере деятельности человека.

В пособии не только представлены теоретические сведения, но и разобраны основные примеры темы. Также представлены задания для самостоятельной работы студентов. Предложенные примеры разнообразны по трудности, что дает возможность осуществить индивидуальный подход к студентам, в частности, организовать работу с наиболее подготовленными, проявляющих интерес к математике. Эти задания на закрепление знаний, умений и навыков. Упражнения для самостоятельного решения снабжены ответами.

Особенностью представленного пособия является усиление роли самостоятельной работы студентов.

1. Открытие логарифмов

Попытки сопоставить множеству чисел вида множество соответствующих показателей степени мы находим в XVI в. у немецкого математика Михеля Штифеля. Важность такого подхода для практики вычислений достаточно ясна. Если числу соответствует показатель , а числу - у, то произведению будет отвечать сумма , т.е. умножение можно заменить сложением, что было давней мечтой всех вычислителей. Чтобы ее осуществить, требовалось составить точные таблицы, в которых содержались все необходимые данные. Этот огромный труд оказался под силу шотландскому математику Джону Неперу (1550-1617).

Работа Непера под названием "Описание удивительной таблицы логарифмов" появилась в 1614 г.

2. Понятие логарифма

Определение. Логарифмом числа N ( N0) по основанию числа ( 0, ) называется показатель степени , в которую надо возвести число , чтобы получить число N.

.

В вычислительной практике широко используются логарифмы чисел по основанию 10 – десятичные логарифмы. Для обозначения десятичных логарифмов принята специальная записи: вместо пишут .

3. Общие свойства логарифмов

Из определения логарифма следует равенство .

Для положительных М, N и k справедливо:

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

4. Логарифмирование

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то используя свойства логарифмов можно выразить через логарифмы входящих в выражение чисел. Такое преобразование называется логарифмированием.

Например, прологарифмируем выражение ,

.

5. Потенцирование

Часто приходится решать обратную задачу, т.е. находить выражение по его логарифму. Такое преобразование называется потенцированием.

Например, найдем по данному его логарифму

.

6. Таблицы логарифмов

Чтобы уяснить принцип устройства логарифмических таблиц, установим одно важное свойство десятичных логарифмов чисел.

Нам известно, что любое положительное число можно записать в стандартном виде.

Определение. Стандартным видом числа называется его запись в виде , где . Показатель степени n называют порядком числа .

Например:

; ;

; .

Найдем логарифм какого-нибудь положительного числа представленного в стандартном виде. Пусть, например, .

Тогда

.

Так как 1 , т.е. 0

Мы видим, что представлен в виде суммы целого числа и положительного числа, меньшего 1, т.е. в виде суммы его целой и дробной частей. Причем целая часть логарифма числа равна порядку этого числа, а дробная часть - .

Определение. Целая часть логарифма числа называется его характеристикой, а дробная часть – мантиссой.

Теорема. Характеристика числа , где Z, равна порядку этого числа, а мантисса равна .

Рассмотрим числа 4650; 46,5; 0,0465. Они отличаются друг от друга только положением запятой в числе. Представив эти числа в стандартном виде, найдем характеристику и мантиссу логарифма каждого из чисел:

, ;

, ;

, .

Мы видим, что логарифмы данных чисел имеют одну и ту же мантиссу.

Следствие. Логарифмы чисел, отличающихся друг от друга только порядком, имеют одну и ту же мантиссу.

Это следствие можно сформулировать иначе:

Мантисса логарифма числа не зависит от положения запятой в числе.

Чтобы вычислить мантиссу логарифма используют "Четырехзначные математические таблицы" В. М. Брадиса.

В этих таблицах приведены мантиссы десятичных логарифмов с точностью до . Таблицы не содержат характеристик логарифмов, т.к. характеристику, равную порядку числа, можно найти без таблиц.

Как пользоваться таблицами?

Таблица XIII стр. 65.

Пользуясь таблицей, найдем .

Найдем мантиссу на пересечении строки с меткой "31" и столбца с меткой "7". Получим число 5011, прибавим к этому числу поправку на четвертую цифру. Эта поправка расположена в правой части таблицы на пересечении той же строки и столбца поправок с меткой "4". Поправка равна 6, следовательно, мантисса равна 0,5011+0,0006=0,5017.

Найдем логарифмы следующих чисел

Для решения обратной задачи (нахождение числа по его логарифму) удобно использовать специальную таблицу значений функции (десятичные антилогарифмы).

Таблица XIV стр. 68.

Найдем , если

1).

.

2). .

3).

Представим данный логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы:

-1,2164=-2+0,7836

.

7. Вычисление с помощью четырехзначных таблиц логарифмов

Применение таблиц логарифмов позволяет значительно упростить вычисления. Приведем пример.

Вычислить значение .

Логарифмируя имеем:

По таблицам найдем:

1).

2).

3).

4). .

8. Задания для самостоятельной работы

Вычислите с помощью таблиц значение .

1). , (Ответ: ).

2). , (Ответ: ).

3). , (Ответ: ).

10. Используемая литература

1. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – М. : Просвещение, 2015.;

2. Большая электронная энциклопедия «Кирилл и Мефодий» – Кирилл и Мефодий, 2005.

3. В.М. Брадис Четырехзначные математические таблицы: Для сред. шк. – М.: Просвещение, 2017;

4. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ – М.: Мнемозина, 2016;

5. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М.: Аванта+, 1998;