Курсовая работа "Алгебра бинарных отношений и отображений"

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

Луганский Национальный Университет
имени Тараса Шевченко

Курсовая работа на тему:

“ Алгебра бинарных отношений и отображений”

Выполнила:

Студентка 2 курса

ИПР ”Математика”

Гончар Н.А.

Проверил:

Доцент Давыскиба О.В.

Луганск 2017

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………………….3

РАЗДЕЛ 1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ…………….…………4

1.1 Понятие бинарных отношений…………………………………………………………………..4

1.2 Свойства бинарных отношений ………………………………………………….………………4

1.3. Основные операции над бинарными отношениями ……………………………………….…6

1.4 Теоремы об известных алгебрах отношений………………………………………………..….8

РАЗДЕЛ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ …………………………………………………………………………..……13

2.1 Понятие декартова произведения множеств…………………………………………….……13

2.2 Примеры декартова произведение множеств………………………………………………....15

2.3 Представление бинарных отношений графами и матрицами……………………………….15

ВЫВОДЫ…………………………………………………………………………………….……..20

Список использованной литературы……………………………………………………………21

ВВЕДЕНИЕ

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обычной речи, где его связывают с большим количеством предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

Бинарные отношения служат простым и удобным аппаратом для весьма широкого круга задач. Язык бинарных отношений используется во многих прикладных (для математики) областях, например, таких как математическая лингвистика, математическая биология, математическая теория баз данных. Широкое использование языка бинарных отношений легко объясняется – геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов.

Таким образом, актуальность проблемы изучения бинарных отношений обусловила тему исследования: «Алгебра бинарных отношений и отображений».

РАЗДЕЛ 1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

1.1 Понятие бинарных отношений

Бинарные операции важны в алгебре и, к тому же эта тема достаточно исследована. Сложение и умножение чисел, сложение и умножение матриц, сложение векторов в векторном линейном пространстве могут служить примерами таких операций.

Если является подмножеством можно сказать, что эти два множества находятся в некотором отношении друг с другом.

Прежде всего, договоримся читать запись словами «а находится в отношении с », и тогда естественным образом приходим к тому, чтобы рассматриваемое отношение назвать отношением .

Рассмотрим понятие «отношение» в общем случае. Пусть – некоторое непустое множество. Декартовым квадратом множества назовем множество (или ), элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары , где пробегают множество . Если – подмножество множества , то будем говорить, что является отношением на множестве .

Определение бинарного отношения:

Для любых двух множеств и всякое подмножество называется бинарным отношением между и . [6, стр 47]

1.2. Свойства бинарных отношений

Свойства бинарных отношений на множестве :

• Рефлексивность: 

• Антирефлексивность (иррефлексивность): 

• Корефлексивность: 

• Симметричность: 

• Антисимметричность: 

• Асимметричность: . Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.

• Транзитивность: 

• Связность: 

• Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка

• Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности

• Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка

• Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка

• Полное антисимметричное (для любых  выполняется  или ) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка

• Над бинарными отношениями можно производить некоторые операции, точно так же, как и над множествами. Не ограничивая общности, будем считать, что следующие операции выполняются на множестве .

Пример:

Бинарное отношение  задано на множестве , определить его свойства.

Проверим все свойства отношения:

• Рефлексивность
   – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: , пара  не принадлежит множеству . Бинарное отношение не является рефлексивным.

• Антирефлексивность
   – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: , пара  принадлежит множеству . Бинарное отношение не является антирефлексивным.

• Корефлексивность
   – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример: , пара  принадлежит множеству , но . Бинарное отношение не является антирефлексивным.

• Симметричность
   – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример,  пара  принадлежит множеству , а пара  не принадлежит множеству . Бинарное отношение не является симметричным.

• Антисимметричность
   – это истинное высказывание
  Контрпример подобрать невозможно. Бинарное отношение является антисимметричным.

• Асимметричность
  Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения и отношение не является антирефлексивным, отношение не является асимметричным.

• Транзитивность
  – это ложное высказывание.
  Можно привести контр пример,  пара  принадлежит множеству R и пара  принадлежит множеству , а пара  не принадлежит множеству . Бинарное отношение не является транзитивным.

• Связность
   – это ложное высказывание.
  Можно привести контрпример, ,  пара  не принадлежит множеству  и пара  не принадлежит множеству . Бинарное отношение не является связанным.

Вывод: заданное бинарное отношение обладает только одним свойством антисимметричности.

1.3 Основные операции над бинарными отношениями

Объединением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих по крайней мере одному из данных множеств (т. е. либо A, либо B, либо одновременно и A и B). Обозначают  и читают "объединение A и B". .

Пример: Пусть даны два множества  и  тогда их объединением называется множество  содержащее в себе все элементы исходных множеств :

Пересечением множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих одновременно и A и B. Обозначают и читают "пересечение A и B"

. .;

Пример: Пусть даны два множества  и , тогда их пересечением называется множество , которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:

Разностью множеств A и B называется множество элементов, принадлежащих A и не принадлежащих B. Обозначают A\B и читают "разность A и B".

.

Пример: Пусть даны два множества  и , тогда их разностью называется множество , содержащее в себе элементы , но не   : [ 2, стр 7-10]

Свойства основных операций над бинарными отношениями

Пусть    — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

5. 

6. 

7. 

8.  

9. 

10. 

11. Симметрическая разность коммутативна:

12. Симметрическая разность ассоциативна:

1.4 Теоремы об известных алгебрах отношений

Теорема 1.3. Пусть A,B,C – подмножества унивеpсума U .Тогда спpаведливы следующие равенства:

1 a) A ∪B = B ∪A; b) A ∩B = B ∩A;

2 a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C;

b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C;

3 a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C);

b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C);

4 a) A ∪∅ = A; b) A ∩ U = A;

5 a) A ∪ = U ; b) A ∩ = ∅.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство этих равенств опирается на определения операций над множествами, свойства логических операций и на доказательство

двустороннего включения множеств:

A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧B ⊆ A.

Докажем некоторые из этих равенств.

3.a) → ∀x x ∈ A ∪ (B ∩ C) =⇒ определение ∪

x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C) =⇒ определение ∩

x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) =⇒ дистрибутивность ∨

(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) =⇒ определение ∪

(x ∈ A ∪B) ∧ (x ∈ A ∪ C) =⇒ определение ∩

x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) =⇒ A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

(из того, что x ∈ A∪ (B ∩C) следует, что x ∈ (A∪B)∩ (A∪C);

значит A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪B) ∩ (A ∪ C)).

← ∀x x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) =⇒ определение ∩

x ∈ (A ∪B) ∧ x ∈ (A ∪ C) =⇒ определение ∪

(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) =⇒ дистрибутивность ∨

x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) =⇒ определение ∩

x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C) =⇒ определение ∪

x ∈ A ∪ (B ∩ C) =⇒ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C)

(из того, что x ∈ (A∪B)∩ (A∪C) следует, что x ∈ A∪ (B ∩C);

значит (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) ). Оба включения и доказывают равенство.

Равенства 4a) и 4b) также доказываются с использованием свойств логических операций. Здесь F – произвольная логическая формула.

4 a) → x ∈ A ∪∅ =⇒ определение ∪

x ∈ A ∨ x ∈ ∅ =⇒ x ∈ ∅ = 0, F ∨ 0 = F

x ∈ A =⇒ A ∪∅ ⊆ A.

← x ∈ A =⇒ x ∈ ∅ = 0, F ∨ 0 = F

x ∈ A ∨ x ∈ ∅ =⇒ определение ∪

x ∈ A ∪ ∅ =⇒ A ⊆ A ∪ ∅. Оба включения доказывают равенство.

4b) → x ∈ A ∩ U =⇒ определение ∩

x ∈ A ∧ x ∈ U =⇒ x ∈ U = 1, F ∧ 1 = F

x ∈ A =⇒ A ∩ U ⊆ A.

← x ∈ A =⇒ x ∈ U = 1, F ∧ 1 = F

x ∈ A ∧ x ∈ U =⇒ определение ∩

x ∈ A ∩ U =⇒ A ⊆ A ∩ U .

Оба включения доказывают равенство множеств. Другие равенства доказываются по таким же схемам.

Пеpейдем тепеpь к булевой алгебpе. В качестве пpимитивов этой теоpии pассматpивают:

• множество B = {a, b, c, . . . } и его элементы – носитель алгебры;

• бинаpные опеpации + (операция сложения) и · (операция умножения; знак · будем, как правило, опускать), относительно котоpых множество B замкнуто, то есть pезультатом этих опеpаций является всегда некотоpый элемент из множества В.

• унаpная опеpация − (по аналогии с операцией дополнения множеств назовем эту операцию дополнением), относительно котоpой множество B замкнуто;

• особые элементы 0 и 1, пpинадлежащие B. Особенность этих элементов заключается в том, что в то вpемя как символы a, b, c могут обозначать любые элементы из B, символы 0 и 1 обозначают только сами себя.

Порядок выполнения операций регламентируется приоритетами операций (в убывающем порядке): −, ·,+. Порядок можно изменить с помощью скобок.

Аксиомы булевой алгебpы имеют следующий вид:

∀ a, b, c ∈ B

1.a) a+ b = b+ a; b) ab = ba;

2.a) a+ (b+ c) = (a+ b) + c; b) a(bc) = (ab)c

3.a) a+ (bc) = (a+ b)(a+ c); b) a(b+ c) = (ab) + (ac);

4.a) a+0= a; b) a1 = a;

5.a) a+ = 1; b) = 0

Теорема 1.4 (Пpинцип двойственности). Если T – теоpема в булевой алгебpе, то двойственное ей высказывание также является теоpемой.

Теорема 1.5 В булевой алгебpе B для всех ∀a, b, c ∈ B

1) a+ a = a

Д о к а з а т е л ь с т в о .

a+ a = (a+ a)1 (аксиома 4b)

= (a+ a)(a+ ) (аксиома 5a)

= a+ () (аксиома 3a)

= a+ 0 (аксиома 5b)

= a (аксиома 4a)

2) a+ 1 = 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

a + 1 = a+ (a+ ) (аксиома 5a)

= (a+ a) + (аксиома 2a)

= a+ (теоpема 1.5.1)

= 1 (аксиома 5a).

3) a+ (ab) = a.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

a+ (ab) = (a1) + (ab) (аксиома 4b)

= a(1+ b)(аксиома 3b)

= a(b+ 1)(аксиома 1a)

= a1(теоpема 1.5.2)

= a(аксиома 4b).

4) aa = a

Д о к а з а т е л ь с т в о .

aa = (aa) + 0(аксиома 4a)

= (aa) + () (аксиома 5b)

= a+ ()(аксиома 3a)

= a1(аксиома 5b)

= a (аксиома 4b)

5) a0 = 0

Д о к а з а т е л ь с т в о .

a 0 = a() (аксиома 5b)

= (aa) (аксиома 2b)

= (теоpема 1.5.4)

= 0 (аксиома 5b).

6) a(a+ b) = a.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

a(a+ b) = (a+ 0)(a+ b) (аксиома 4a)

= a+ (0b) (аксиома 3a)

= a+ (b0) (аксиома 1b)

= a+ 0 (теоpема 1.5.5)

= a (аксиома 4a).

Теорема 1.6 В булевой алгебpе для каждого a ∈ B если a+ b =1 и ab =0, то b = a.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

b = b + 0 (аксиома 4a)

= b + () (аксиома 5b)

= (b+ a)(b+ ) (аксиома 3a)

= (a+ b)( + b) (аксиома 1a)

=1 ( + b) (условие теоpемы)

= (a+ )( + b) (аксиома 5a)

= ( + a)( + b) (аксиома 1a)

= + (ab) (аксиома 3a)

= +0 (условие теоpемы)

= (аксиома 4a).

Теорема 1.7 В булевой алгебpе для всех a () = a.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В соответствии с аксиомами 5a и 5b

a+ = 1

a = 0

В соответствии с теоpемой 1.6 имеем a = ().

Теорема 1.8 В булевой алгебpе = 1, = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По теоpеме 1.5 имеем 0 + 1 = 1.

По аксиоме 4б имеем 0·1 = 0 В соответствии с теоpемой 1.6 имеем 1 = .

Аналогично доказывается, что = 0 [6, стр 38-41]

РАЗДЕЛ 2. ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

2.1 Понятие декартова произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение множеств А и В обозначают А. Используя это обозначение, определение произведения можно записать так:

х; у)  х  и у  .

Свойства операции нахождения декартова произведения

1. Так как декартовы произведения А и ВА состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.

2. Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.

3. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

  С    С    С,  \   С    С \   С.

Наглядно представление декартово произведение множеств.

1. Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи таблицы или графа.

Пример Декартово произведение множеств А = 1; 2; 3 и В = 3; 5 можно представить так, как показано на рисунках 1 и 2

	3	5
1	(1,3)	(1,5)
2	(2,3)	(2,3)
3	(3,3)	(3,3)

Рис. 1

2. Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.

Способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Пример

Изобразите на координатной плоскости декартово произведение   В, если:

а) А = 1; 2; 3 и В = 3; 5;

б) А = 1; 3, В = 3; 5;

в) А = R, В = 3; 5;

г) А = R, В = R.

Решение

а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа о т 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение   В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка 3; 5. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками.

у

3 5

1 2 3 х

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой может быть любое число из промежутка 1; 3, и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

у

3 5

1 2 х

в) Этот случай отличается от предыдущих тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества   В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка 3; 5. Множество таких точек образует полосу.

y

5

3

х

г) Декартово произведение RR состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение RR содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости. [ 5, с. 34-36]

2.2. Примеры декартова произведения множеств

Пример 1 Даны множества А=1,2,3, В=3,5. Образовать упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая – множеству В.

Перечислив все такие пары, получим множество: (1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3;3), (3;5).

Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.

х; у)  х  и у  .

Пример 2 Найти декартово произведение множеств А и В, если:

а) А = m, p, e, f, k; b) A = B=3, 5.

Решение. а) Действуем согласно определению – образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая – из В: А    (m; p); (m; f); (m; k); (p; e); (p; f);(p; k).

b) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества: А  А = (3; 3); (3; 5); (5; 3); (5; 5).

Пример 3 Пусть заданы два множества: X={7,5}, Y={1,4,8}. Из этих множеств можно создать новое множество, перечислив все упорядоченные пары:{(7;1), (7;4), (7;8), (5;1), (5;4), (5;8)}. В полученном множестве каждый элемент является упорядоченной парой, в которой первая компонента принадлежит множеству X, вторая множеству Y.

2.3 Представление бинарных отношений графами и матрицами

Одно из определений графа: граф G = (M,R) задан, если задано множество M и бинарное отношение R на нем. Элементы множества M называются вершинами графа, а пары 〈x, y〉 ∈ R – дугами (пары вида 〈x, x〉 называются петлями). Для небольших размерностей удобно иллюстрировать отношения (графы) с помощью диаграммы. Элементы множества M (вершины графа) изображаются в виде точек на плоскости; если пара 〈x, y〉 ∈ R, то x, y соединяют стрелкой, идущей из x в y. Эту диаграмму также называют графом. Граф, определенный таким образом, называется ориентированным (орграфом)

Таким образом, бинарное отношение и соответствующий ему граф являются представлениями друг друга: если задано бинарное отношение, то задан и соответствующий ему граф, и наоборот, если задан граф, то задано и соответствующее ему бинарное отношение. [ 4, стр .203-205]

Примеры

1. Пустому отношению соответствует граф без дуг и петель (пустой граф). Все элементы матрицы пустого отношения – нулевые.

2 Диагональное отношение представляется графом, в каждой вершине которого имеется петля (заметим, что стрелку на петле можно не изображать). Матрица отношения ∆ содержит единицы на главной диагонали, остальные элементы ∆ – нули.

3 Полное отношение представляется полным графом. Все элементы матрицы полного отношения – единицы.

Матрицы бинарных отношений

Рассмотрим два конечных множества A ={a₁,a₂,…,a_m} и B={b₁,b₂,…,b_n} и бинарное отношение . Определим матрицу размера m×n бинарного отношения Р по следующему правилу:

Полученная матрица содержит полную информацию о связях между элементами.

Любая матрица, состоящая из 0 и 1, является матрицей некоторого бинарного отношения.

ПРИМЕР 1. Матрица бинарного отношения , A={1,2,3}, заданного

на рисунке имеет вид

Основные свойства матриц бинарных отношений:

1. Если то и , где сложение осуществляется по правилам 0+0=0, 1+1=0+1=1+0=1, а умножение – обычным способом.

Итак,

1. Матрица получается перемножением соответствующих элементов из и : .

2. Если , то , где умножение матриц производится по обычному правилу умножения матриц, но произведение и сумма элементов – по определённым в свойстве 1 правилам.

3. Матрица обратного отношения Р^-1 равна транспонированной матрице отношения Р: .

4. Если , то .

5. Матрица тождественного отношения id_A единична:

ПРИМЕР 2. Пусть - матрицы отношений P и Q. Тогда

ПРИМЕР 3. Если , то

Рассмотрим свойства отношений на языке матриц.

Пусть Р – бинарное отношение на множестве .

Отношение Р:

• рефлексивно, если на главной диагонали матрицы отношения расположены только единицы;

• симметрично, если матрица симметрична относительно главной диагонали;

• антисимметрично, если в матрице все элементы вне главной диагонали являются нулевыми;

• транзитивно, если выполнено соотношение .

ПРИМЕР 4. Проверим, какими свойствами обладает отношение , А={1,2,3}, изображённое на рисунке.

Составим матрицу отношения Р:

Так как в матрице на главной диагонали имеются нулевые элементы, отношение Р не рефлексивно.

Несимметричность матрицы означает, что отношение Р не симметрично.

Для проверки антисимметричности вычислим матрицу .

Поскольку в полученной матрице все элементы, стоящие вне главной диагонали, нулевые, отношение Р антисимметрично.

Так как (проверьте!), то , то есть Р является транзитивным отношением. [7, стр 5,11]

ВЫВОДЫ

Множество - это неопределяемое понятие, что представляет некоторую совокупность данных. Элементы множества можно отличать друг от друга, а также определять, принадлежит ли данный элемент данному множеству. Над множествами можно выполнять операции объединения, пересечения, разности и дополнения.

Новые множества можно строить при помощи понятия декартового произведения (конечно, есть и другие способы, но они нас в данный момент не интересуют). Декартово произведение нескольких множеств - это множество кортежей, построенный из элементов этих множеств.

Отношение - это подмножество декартового произведения множеств. Отношения состоят из однотипных кортежей.

Отношения являются математическим аналогом понятия "таблица".

Отношения получили степень и мощностью. Степень отношения - это количество элементов в каждом кортеже отношения (аналог количества столбцов в таблице). Мощность отношения - это мощность множества кортежей отношения (аналог количества строк в таблице).

В математике чаще всего используют бинарные отношения. В теории баз данных основными являются отношения степени . В математике, как правило, отношения заданы на бесконечных множествах и имеют бесконечную мощность. В базах данных напротив, мощности отношений конечны (число хранимых строк в таблицах всегда конечно).

Список использованной литературы:

1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.

2. Воеводин В. В. — Линейная алгебра. Москва: Наука, 1974. (стр 7-10).

3. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учеб. пособие. — 3-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.(Стр 203-205)

4. Глузман Н.А. Начальный курс математики:Учебник для студ.выс.пед.учеб.заведений специальности: «Начальное обучение» – Ялта: Редакционно-издательский центр КГУ, 2008. - 311 с. (Стр. 34-36)

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 38-41)

6. Мальцев А.И., «Алгебраические системы», 1970, стр.16-19

7. Тыртышников Е.Е., «Матричный анализ и линейная алгебра», 2005, стр 5.11