Лекция по математике: линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Всякая кривая второго порядка относительно декартовых координат задается уравнением:

, (18)

Где a_ik– константы.

Это уравнение задает окружность, эллипс, параболу или гиперболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. Например, если в уравнении: a₁₁= a₂₂ и a₁₂=0, то оно является уравнением окружности.

Если уравнение (18) разлагается на два линейных множителя, то в этом случае оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

2.Окружность и её уравнение.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки плоскости, называемой ее центром.

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

, (19)

Где(a,b)– координаты центра, а R– радиус окружности.

Пример 1. Найти центр и радиус окружности

.

Решение. Выделяя полные квадраты по x и по y, приведем уравнение к виду

,

откуда, сравнивая с (19), находим C(3; -1)и R = 6.

Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки , , .

Решение. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд. Точка М₁(-1;2) – середина хорды АВ, а

М₁( 1;4) – середина АС и

, .

Уравнения перпендикуляров к хордам АВ и АС, проходящих через их середины, имеют вид:

и

или

и .

Точка пересечения этих прямых Р(-1;2).

Для нахождения радиуса найдем расстояние между точками и :

.

Запишем уравнение окружности:

.

3. Эллипс и его уравнение.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса:

,

Где а– большая полуось, в– малая полуось,

– эксцентриситет эллипса.

Прямую, на которой расположены фокусы эллипса F₁ u F₂, называют фокальной осью, а

и – фокальными радиусами.

Прямые x= называют директрисами эллипса.

Пример 3. Убедитесь, что уравнение

определяет эллипс. Найдите полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис.

Решение. Приведем уравнение

к каноническому виду

,

откуда , . Из условия найдем , то есть .

Тогда , а уравнение директрис x= (±25)/.

Пример 4. Доказать, что уравнение

определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии.

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по и по :

.

Обозначим , где – новые переменные. Тогда уравнение примет вид или, приводя к каноническому виду, .

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (20) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке (-2;2).

4. Гипербола и её уравнение.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек и плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы:

, (21)

Где .

Точки , называются вершинами гиперболы, прямые являются асимптотами гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось, – эксцентриситет гиперболы, прямые – ее директрисы.

Пример 5. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках и длина вещественной оси равна 6.

Решение. По условию , тогда из формулы найдем . Каноническое уравнение гиперболы: уравнения асимптот: .

Пример 6. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку , асимптоты которой .

Решение. Из уравнения асимптот следует, что . Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то . Решая систему найдем , . Получаем или .

Пример 7. Доказать, что уравнение определяет гиперболу. Написать уравнения ее асимптот.

Решение. Выделим полные квадраты по и по :

или

.

Обозначая и деля обе части уравнения на 9, получим каноническое уравнение , откуда следует, что , центр находится в точке то есть . Учитывая, что асимптоты проходят через точку и , запишем их уравнения:

или

.

5. Парабола и её уравнение.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы

, (22)

Где (параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы .

Так как уравнение параболы содержит , то она симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы.

Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии.

Пример 8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение.

Решение. Подставляя координаты точки в уравнение (22), найдем, что . Значит, уравнение параболы .

Пример 9. Доказать, что уравнение определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины.

Решение. Выделяя полный квадрат, получим . Если положить то уравнение примет вид . Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим , откуда . Вершина параболы находится в точке , , то есть .

Для самостоятельного решения.

1. Найти координаты центра и радиус окружности .

Ответ: , .

2. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки и , а центр ее лежит на прямой .

Ответ: .

3. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

Ответ: 16.

4. Составить уравнение хорды параболы , которая проходит через ее вершину перпендикулярно прямой .

Ответ: .

5. На параболе найти точку , ближайшую к прямой , и вычислить расстояние от точки до прямой.

Ответ: .

6. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .

Ответ: 12.

7. Дана окружность . Найти уравнение радиусов, проведенных из центра в точки пересечения окружности с осью ординат, а также угол между этими радиусами.

Ответ: .