Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Три пути ведут к знанию:

путь размышления-это путь

самый благородный,

путь подражания-это путь

самый легкий

и путь опыта-это путь

самый горький.

Конфуций

Тема урока: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Цели урока:

Образовательная

Систематизировать , расширять знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения дифференциальных уравнений второго порядка;

2) Развивающая

Развивать: а) умение анализировать математические ситуации ;

б) умение выделять главное;

в) умение сравнивать, обобщать, классифицировать ;

3) Воспитывающая

Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, самоанализу своей деятельности;

Тип урока: комбинированный

Оборудование урока: интерактивная доска, лист успешности учащегося, деформированные задания, тест

Вся работа на уроке сопровождается индивидуальным листом успешности

Лист успешности учащегося

Фамилия, Имя___________________________________________________

Ход урока:

I. Постановка целей урока

II. Актуализация опорных знаний

1) Закончить формулировку определения:

1. Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные называются….(дифференциальными)

2. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называют …..(обыкновенным)

3. Функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в тождество называется….(решением уравнения)

4. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение называется…(порядком уравнения)

5. Уравнение вида F(х,у, )=0 называется …..(диф. уравнением 1-го порядка)

6. Уравнение вида f(x,y)dx= (x,y)dy называется…..(однородным)

7. Уравнение вида = f₁(x) f₂₍y) называется…..(диф. уравнением с разделяющимися переменными)

8. Уравнение вида +Р(х)у=Q(x) называется…..(линейным диф. уравнением 1-го порядка)

9. Уравнение вида F(х,у, , )=0 называется…(диф. уравнением второго порядка)

10. Процесс отыскания решения диф. уравнения называется….(итегрированием)

2) Классификация дифференциальных уравнений по их видам:

1

ДУ с разделяющимися переменными

2. (6у+3)dx=2 dy

Линейное ДУ первого порядка

3. (x²-y²)dx+2xydy=0

4

ДУ третьего порядка

5. +2 +6y=0

Однородное ДУ первого порядка

6. =3x² –4x+2cos3x

Линейное однородное ДУ второго порядка

ДУ второго порядка

3) Классификация дифференциальных уравнений по методам их решения

4) Алгоритм нахождения общего решения линейного однородного уравнения второго порядка

Чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка

нужно:

Если k₁ k_2, то

у=c₁e^{k x} + c₂e^{k х}

1

Если k_{1 =} k₂, то

у= е^kx(c₁ +c₂x)

2

Если k₁ и k₂ – комплексные числа, то у=е^ах(с₁cosbx +c₂sinbx)

3

Заменить у¹¹, у¹, у на k², k,1

4

5

Составить характеристическое уравнение вида: k²+px+q=0

III. Формирование практических умений и навыков:

1) Найти ошибку в решении дифференциального уравнения третьего порядка:

= 9х²+4-2 cos4x

= 3x³+4x- sin4x+c₁

=

y=

а) +4 +8у=0 б) -2 +2у=0

k²+4k+8=0 k2 -2k+2=0

Д=16-32=-16 Д= -4

Д¹=Д/4= -4 k_1/2= - Д¹=Д/4= -1

k_1/2= -2 k_1/2= 1

y=e^-2x(c₁cos2x+c₂sin2x) y=e^x(c₁cosx+c₂sinx)

IV. Выполнение теста

1 вариант

1. Уравнение -4у-3=0- это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

1. Уравнение (х²-у²)dy-(xy-y²)dx=0 - это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное диф. уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

1. Найти общее решение диф. уравнения:

А) у=е^х(c₁cos2x+c₂sin2x) Б) у=е^4х(с₁cosx+c₂sinx) В) у=е^2х(c₁cos3x+c₂sin3х) Г)у=е^4х(с₁cos2x+c₂sin2x)

А) у=е^х(c₁+c₂x) Б) у=е^-х(с₁+c₂x) В) у=е^2х(c₁+c₂x) Г) у=е^4х(с₁+c₂x)

А) у=е^х(c₁cos2x+c₂sin2x) Б) у=е^4х(с₁cosx+c₂sinx) В) у=е^2х(c₁cos3x+c₂sin3x) Г) у=е^-3х (с₁cosx+c₂sinx)

2 вариант

1. Уравнение - - это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение 1-го порядка; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

1. Уравнение - это уравнение:

А) с разделяющимися переменными; Б) линейное диф. уравнение 1-го порядка;

В) однородное уравнение ; Г) диф. уравнение 2-го порядка;

1. Найти общее решение диф. уравнения:

А) у=е^х(c₁cos2x+c₂sin2x) Б) у=е^-4х (с₁cos2x+c₂sin2x) В) у=е^2х(c₁cos3x+c₂sin3х) Г)у=е^4х(с₁cos2x+c₂sin2x)

А) у=е^х(c₁+c₂x) Б) у=с₁е^2х+c₂е^4х В) у=c₁е^х+c₂е^-4х Г) у=е^4х(с₁+c₂x)

А) у=е^х(c₁cos2x+c₂sin2x) Б) у=е^4х(с₁cosx+c₂sinx) В) у=е^-х(c₁cos x+c₂sin x )

Г) у=е^-3х (с₁cosx+c₂sinx)

Ключи к тесту:

V. Домашнее задание:

1. Составить три диф. уравнения третьего порядка и три диф. уравнения четвертого порядка;

2. Решить эти уравнения;

1. Рефлексия, итоги урока