Математика. Геометрия треугольника. Трисектриса. Теорема Франка Морлея или Теорема Морли.

Теорема Морли, или теорема Морлея о трисектрисах — одна из интереснейших теорем геометрии треугольника. Трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части.

Трисектрисой  треугольника называется отрезок трисектрисы его угла до пересечения со стороной треугольника. Точки пересечения смежных трисектрис треугольника являются вершинами правильного реугольника (теорема Морлея).

Теорема Морли

Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем —  теорема Ласкера -Нетёр). Морли  внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества.

Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

Сначала определим трисектрису, а затем докажем теорему.

Определение. Трисектрисой угла называется каждый из двух лучей, делящих этот угол на три равные части.

Теорема Морли. Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего (правильного) треугольника.

Доказательство. Нужно доказать, что треугольник  равносторонний.

Используя обозначения, приведенные на рисунке, поскольку в треугольнике  сумма углов , имеем

Возьмем произвольный равносторонний треугольник . Пусть  — точки на высотах треугольника  (или на продолжениях высот) такие, что

Пусть  — точка пересечения  и ,  — точка пересечения  и , и  — точка пересечения  и . Тогда в четырехугольнике 

Следовательно, . Аналогично,  и .

Проведем окружность с центром в точке , касающуюся . Так как  — биссектриса , то эта окружность также касается . Теперь проведем касательные к окружности  и . Обозначим через  точку пересечения этих касательных. Тогда

и

Тогда сумма углов  и  в четырехугольнике  равна

откуда . Другими словами,  — прямая, так что точки  и  совпадают. Следовательно, . Аналогично определяются углы треугольников  и , откуда получаем, что углы треугольника  равны  и . Если необходимо, этот треугольник можно заменить подобным ему, который будет совпадать с .