Математика. Планиметрия. Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых. Доказательство.

Аксиома параллельных прямых.

В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.

Другие свойства параллельных прямых.

1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.

Эти свойства в отличии от аксиомы нужно доказать.

Докажем 1. Свойство.  

Даны две параллельные прямые a и b. Верно ли, если прямая c параллельна прямой a, то она параллельна и прямой b?

Используем противоположное суждение.

Допустим, что возможна ситуация, когда прямая c параллельна одной из параллельных прямых - прямой a, пересекает другую прямую b в некоторой точке K.

Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой a. Такого не может быть, значит прямые b и cпересекаться не могут.

Мы доказали, что верно - если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.

Если некая прямая c пересекает одну из двух параллельных прямых a, то она пересекает и вторую параллельную прямую b. 

Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможно ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.

Свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей мы уже назвали в первой части теории.

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

- накрест лежащие углы равны,

- соответственные углы равны,

- сумма односторонних углов равна 180°.

ПРИМЕР 

Задание	В параллелограмме  угол  равен . Чему равен внешний угол при вершине
Решение	Заданный параллелограмм  изображен на рисунке. Стороны  и  этого параллелограмма лежат на параллельных прямых, а сторона  на прямой, которая их пересекает. Угол и внешний угол при вершине являются соответственными, а значит, они равны. Следовательно, .
Ответ