Математика. Принадлежит ли точка описанной окружности. Задачи + решения.

Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом  расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.

Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство  ( Длина отрезка  равна радиусу окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности (). 

Длина окружности:

Площадь круга:

Дуга окружности:

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда   стягивает две дуги:  и . Равные хорды стягивают равные дуги.

Угол между двумя радиусами называется центральным углом:

Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:

а) угол  дан в градусах:

Отсюда 

б) угол  дан в радианах:

Отсюда 

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:

Если  хорды  и  окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой  равны между собой:

Касательная к окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к  точке касания.

Если из данной точки  проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных  равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:

Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной  равен произведению  всего отрезка секущей на его внешнюю часть:

Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть:

Углы в окружности.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:

∠ ⌣ 

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом.  Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

∠∠

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

∠∠∠

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

∠∠∠

Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна 

∠∠

∠∠∠

Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:

Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.

∠ ∠∠( ⌣  ⌣ )

Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.

∠ ∠∠( ⌣  ⌣ )

 Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле

,

здесь - полупериметр многоугольника,  - радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен 

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь 

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .

∠+∠=∠+∠

Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:

Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:

Где  - длины сторон треугольника,  - его площадь.

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон: