Математика. Угол как величина. Об углах между скрещивающимися прямыми.

Угол как величина. Об углах между скрещивающимися прямыми.

Величиной угла называется положительная величина, определенная для каждого угла так, что: 1) равные углы имеют равные величины; 2) если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.

Свойства величины угла:

1. Равные углы имеют равные величины.

2. Часть угла всегда имеет величину, которая меньше величины угла.

3. Если лучи, выходящие из вершины угла, делят угол на части, то величина угла равна сумме величин этих частей.

Для измерения угла как единицу измерения принимают 1180 часть развёрнутого угла, таким образом: Величина развёрнутого угла 180 таких единиц или градусов Это записывается:∡AOB=1800.   Следовательно: Так как полный угол состоит из двух развёрнутых углов, то его величина 3600     Можем представить и угол, величина которого00   Одна четвёртая часть полного угла или половина развёрнутого угла называется прямой угол с величиной ∡AOB=900 и особым знаком во внутренней части угла.   Угол, величина которого00<∡AOB<900, называют острый угол.   Угол, величина которого 900<∡AOB<1800, называют тупой угол.  

Угол, величина которого 1800<∡AOB<3600, называют открытый угол.

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.  

Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?

Если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? 

Выберем точку О1. Через точку О1 проведем прямую а2, параллельную прямой а, и прямую b2, параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямымиа2 и b2 обозначим φ1. Тогда углы φ и φ1 - углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.

Задача.  Найти угол между двумя прямыми

Прямые ОВ и СD параллельны, ОА и СD скрещиваются. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если: 

1) ∠АОВ = 40°.

Выберем точку С. Через нее проходи прямая СD. Проведем СА1 параллельно ОА (Рис. 1.). Тогда угол А1СD – угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD. По теореме об углах с сонаправленными сторонами, угол А1СDравен углу АОВ, то есть 40°.

Рис. 1. Найти угол между двумя прямыми

2) ∠АОВ = 135°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 2.). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD равен 45°, так как он наименьший из углов, которые получаются при пересечении прямых СD и СА1.

Рис. 2 

3) ∠АОВ = 90°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 3.). Тогда все углы, которые получаются при пересечении прямых СD и СА1 равны 90°. Искомый угол равен 90°.

Рис. 3