Математика. Задачи про переливание жидкостей.

Задачи про переливание жидкостей.

Задача. Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Решение. Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по 1/2 л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k - 1 в сосудах было по 1/2 л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k+1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2+(2/2(2k+1))=(k+1)/(2k+1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k+2) часть и остается (k+1)/(2k+1) - (k+1)/((2k+1)(2k+1))=1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по 1/2 л воды.