Методическая разработка открытого лекционного занятия по теме "Пирамида"

СТАХАНОВСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ МЕДИЦИНСКОГО КОЛЛЕДЖА

ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

«ЛУГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ СВЯТИТЕЛЯ ЛУКИ»

Методическая разработка

открытого лекционного занятия

по учебной дисциплине «Математика»

для студентов I курса

Тема «Пирамида»

Преподаватель: Мягких М.И.

2021

Тема «Пирамида»

Количество часов: 2

Тип занятия: комбинированный

1. Мотивация.

Т ема «Пирамида» учит думать, помогает рассуждать логично и последовательно, развивает умение выделять главное, заставляет анализировать ситуацию и делать выводы, способствует поиску различных путей решения одной задачи.

Разве эти умения не нужны человеку в повседневной жизни, профессиональной деятельности?

Вот что говорили про математику выдающиеся личности: «Математика – гимнастика ума» (Александр Суворов), «Математику только затем учить надо, что она ум в порядок приводит» (Михаил Ломоносов).

2. Учебные цели (с определением уровня усвоения).

Ознакомиться, иметь представление о пирамиде, её видах и свойствах (β-І)

Знать, усвоить нахождение площади боковой и полной поверхностей, основных элементов пирамиды (β-ІІ)

3. Цели развития личности (воспитательные цели) умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать коммуникативную компетенцию студентов, последовательность действий при решении задач в зависимости от конкретных условий.

4. Междисциплинарная интеграция.

5. Внутридисциплинарная интеграция.

6. План и организационная структура лекции.

7. Материалы методического обеспечения занятия:

1. Конспект лекции.

2. Дидактический материал.

3. Демонстрационный материал.

4. Мультимедийная презентация.

5. Вопросы.

6. Задачи.

7. Опорный конспект.

8. Литература.

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10(11) кл. - М.:Просвещение, 2017.

9. Материалы методического обеспечения занятия.

I. Подготовительный этап.

1. Решить кроссворд.

1. Многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.

2. Многоугольники А₁А₂...А_n и В₁В₂…В_n.

3. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.

4. Параллелограммы А₁А₂В₂В₁, А₂А₃В₃В₂,…, А_nA₁B₁B_n – боковые…

5. Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется…

6. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани призмы.

7. Стороны граней.

8. Концы рёбер называются…

9. Если боковые рёбра призмы не перпендикулярны к основаниям, то призма называется…

10. Сумма площадей всех граней призмы – площадь … поверхности.

11. Прямая призма, основания которой правильные многоугольники.

12. Сумма площадей боковых граней призмы – площадь … поверхности.

2. «Математическое лото».

З адача 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а высота – 10 см.

Решение. Площадь боковой поверхности такой фигуры состоит из 6-ти площадей прямоугольников с основанием 5 см и высотой 10 см. Следовательно, площадь боковой поверхности равна

Ответ: 300 .

Задача 2. Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 20 см, а площадь поверхности равна 1760 см².

Решение. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат. Следовательно, площадь нижней и верхней граней равна

Тогда площадь боковой поверхности будет

В то же время, площадь боковой поверхности – это сумма площадей четырёх боковых граней с основанием 20 см и высотой h, имеем:

откуда

Ответ: 12 см.

Задача 3. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ равно
15 см, а диагональ BD₁ равна 17 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A₁ и C.

Р ешение. Найдём площадь сечения, показанную на рисунке красными линиями. Данное сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого AA₁=15 см. Диагональ этого сечения AC₁=BD₁=17 см. Найдём вторую сторону прямоугольника из прямоугольного треугольника AA₁C₁ по теореме Пифагора:

и площадь сечения равна

Ответ: 120

Задача 4. Найдите площадь полной поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8 см, и боковым ребром, равным 10 см.

Р ешение. Диагонали ромба всегда пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Для того, чтобы найти сторону ромба можно рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 6 : 2 = 3 см и 8 : 2 = 4 см и по теореме Пифагора вычислим:

Теперь найдём площадь поверхности призмы. Площади 4-х боковых граней будут равны

а площади нижней и верхней граней

Таким образом, площадь поверхности призмы равна

.

Ответ: 248 .

Задача 5. Найдите расстояние между вершинами А и D₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5 см, AD = 4 см, AA₁ = 3 см.

Р ешение. Так как параллелепипед прямоугольный, то треугольник ADD₁ – прямоугольный с катетами AD = 4 см и DD₁=AA₁=3 см. По теореме Пифагора найдём гипотенузу AD₁:

Ответ: 5 см.

З адача 6. Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5 см, AD = 4 см, AA₁=3 см.

Решение. В задаче даны все три стороны прямоугольного параллелепипеда, тогда квадрат расстояния между точками A₁ и C (диагональ параллелепипеда) можно найти по формуле

Ответ: 50 .

II. Основной этап.

1. Игра «да» - «нет».

1. Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину? (да)

2. Основание – многоугольник, которому принадлежит вершина
пирамиды? (нет)

3. Боковые грани пирамиды – это четырёхугольники? (нет)

4. Вершина пирамиды – точка, соединяющая боковые рёбра, и не лежащая в плоскости основания? (да)

5. Боковые ребра пирамиды – отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания? (да)

6. Если в основании пирамиды лежит четырёхугольник, то она называется тетраэдром? (нет)

7. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания? (да)

8. Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней? (нет)

9. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней и основания?(да).

2. В чём сходство и отличие между правильной (рис.A) и прямоугольной (рис.B) четырёхугольными пирамидами?

Рис. A Рис. B

Сходства. Вершина - точка, соединяющей боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Отличия.

3. Используя фигуру правильной пирамиды,  сделать соответствующие измерения и вычисления.

4. Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 м?

Р ешение.

Ответ:

5. В основании правильной египетской пирамиды - квадрат со стороной 230 м, высота пирамиды 138 м. Найдите боковое ребро пирамиды.

Решение.

1 . АС BD = O.

2. ΔAOD – прямоугольный.

По теореме Пифагора AD² = OD² +OA²;

230² = 2OD²; 52900=2OD²; OD² =26450.

3. Пирамида правильная = SO ⊥ (ABC)

4. Δ SOD – прямоугольный, по теореме Пифагора DS² = DO² +OS² = 26450 + 138² =
=26450+19044 = 45494;

DS ≈ 213 (м).

Ответ: 213 метров

6 . «Логические пары».

О твет: 1-с; 2-d; 3-a; 4-e; 5-f; 6-b.

7. АВСDA₁B₁C₁D₁ – правильная усечённая пирамида. К₁К – апофема. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.

Решение.

О твет: 114 см².

8. АВСА₁В₁С₁ – правильная усечённая пирамида. М₁М – апофема. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Решение.

Ответ: 216 см².

9. Содержание лекционного материала.

План:

1. Понятие, основные элементы пирамиды.

2. Виды пирамид:

2.1 Прямоугольная и правильная пирамиды.

2.2 Усечённая пирамида.

1. Понятие, основные элементы пирамиды.

Рассмотрим многоугольник A₁A₂…A_n и точку P, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников (рис. 1): PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁.

Рис. 1

Многогранник составленный из n-угольника A₁A₂…A_n и n треугольников PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁, называется пирамидой.

Многоугольник A₁A₂…A_n называется основанием, а треугольники PA₁A₂, PA₂A₃,…, PA_nA₁ – боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA₁, PA₂,…, PA_n – её боковыми рёбрами. Пирамиду с основанием A₁A₂…A_n и вершиной P обозначают так: PA₁A₂…A_n – и называют n-угольной пирамидой.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 отрезок PH является высотой пирамиды.

В зависимости от количества сторон основания различают треугольные, четырёхугольные, …, n-угольные пирамиды (рис. 2). Треугольную пирамиду называют также тетраэдром.

Рис. 2

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её боковых граней, а площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней (т.е. основания и боковых граней).

2. Виды пирамид:

2.1 Прямоугольная и правильная пирамиды.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию (рис. 3). Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Рис. 3

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой (рис.4).

Рис. 4

Докажем, что все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду PA₁A₂…A_n (см. рис. 5).

Рис. 5

Сначала докажем, что все боковые рёбра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро PA₁ – гипотенуза треугольника ОPA₁, в котором OP=h, OA₁=R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно , поэтому PA₁=PA₂ =… = PA_n.

Мы доказали, что боковые рёбра правильной пирамиды PA₁A₂…A_n равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как A₁A₂…A_n – правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой. На рисунке 5 отрезок РЕ – одна из апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды (а), а высоты равны апофеме (h). Тогда площадь одной боковой грани равна . Боковая поверхность пирамиды состоит из n таких граней. Поэтому если периметр основания пирамиды равен P, то площадь её боковой поверхности

Теорема доказана.

Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники (см. рис. 6).

Рис. 6

Формулы для правильных пирамид

2 .2 Усечённая пирамида.

Возьмём произвольную пирамиду PA₁A₂…A_n и проведём секущую плоскость β, параллельную плоскости α основания пирамиды и пересекающую боковые рёбра в точках В₁, В₂,… В_n (рис.7). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника.

Многогранник, гранями которого являются n – угольники A₁A₂…A_n и В₁В₂,… В_n, расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольники A₁A₂В₂В₁, A₂A₃В₃В₂,…А_nA₁B₁B_n, называется усечённой пирамидой.
Рис.7

Многоугольник A₁A₂…A_n называется нижним основанием, а многоугольник В₁В₂,… В_n - верхним основанием усечённой пирамиды.

Четырёхугольники A₁A₂В₂В₁, A₂A₃В₃В₂,…А_nA₁B₁B_n называются боковыми гранями усечённой пирамиды, а отрезки A₁B₁, A₂B₂, …, A_nB_n её боковыми рёбрами.

Усечённую пирамиду с основаниями A₁A₂…A_n и В₁В₂,… В_n обозначают так: A₁A₂…A_nВ₁В₂,… В_n.

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды. На рисунке 7 отрезок СН является высотой усечённой пирамиды.

Докажем, что боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.

Рассмотрим, например, боковую грань A₁A₂В₂В₁(см. рис. 7). Стороны A₁A₂ и В₁В₂ параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость PA₁A₂ пересекается с параллельными плоскостями α и β. Две другие стороны А₁В₁ и А₂В₂ этой грани не параллельны – их продолжения пересекаются в точке P. Поэтому данная грань – трапеция. Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани – трапеции.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равные равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей её боковых граней, а площадью полной поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её граней (т.е. оснований и боковых граней).

Докажем теорему о площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Д оказательство

Боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобедренные трапеции, основания которых – стороны нижнего и верхнего оснований пирамиды (а и b), а высоты равны апофеме (h).

Найдём площадь одной из граней правильной
n-угольной усечённой пирамиды (рис.8). Рис. 8

Боковая поверхность пирамиды состоит из n таких граней.

Теорема доказана.

Формулы для правильных усечённых пирамид