Методическая разработка открытого лекционного занятия по теме "Призма"

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ

ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

Стахановский филиал ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧРЕЖДЖЕНИЯ ЛУГАНСКОЙ

НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ «ЛУГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ СВЯТИТЕЛЯ ЛУКИ»

«Стахановский медицинский колледж»

(СтФ ГУ ЛНР «ЛГМУ ИМ. СВЯТИТЕЛЯ» «Стахановский МК»)

Методическая разработка

открытого лекционного занятия

по учебной дисциплине «Математика»

для студентов I курса

Тема «Призма»

2022

Тема «Призма»

Количество часов: 2

Тип занятия: комбинированный

1. Мотивация.

Т ема «Призма» учит думать, помогает рассуждать логично и последовательно, развивает умение выделять главное, заставляет анализировать ситуацию и делать выводы, способствует поиску различных путей решения одной задачи.

Разве эти умения не нужны человеку в повседневной жизни, профессиональной деятельности?

Выдающийся итальянский физик и астроном Галилео Галилей говорил, что «Книга природы написана на языке математики». Философ Иммануил Кант утверждал, что «Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики». Немецкий математик и логик Давид Гильберт констатировал «Математика – основа всего точного естествознания». Приведённые высказывания великих учёных дают полное представление о роли и значении математики во всех областях человеческой деятельности.

2. Учебные цели (с определением уровня усвоения).

Ознакомиться, иметь представление о призме, её видах и свойствах (β-І)

Знать, усвоить нахождение площади боковой и полной поверхностей, основных элементов призмы (β-ІІ)

3. Цели развития личности (воспитательные цели) умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать коммуникативную компетенцию студентов, последовательность действий при решении задач в зависимости от конкретных условий.

4. Междисциплинарная интеграция.

№ п/п	Название учебной дисциплины	Тема	Знать
1.	История	Античная цивилизация. Религия Древнего мира и культурное наследие древних цивилизаций.	Культуру древнего мира
2.	Физика	Дисперсия, дифракция, интерференция света	Определение призмы, её элементы и формулы.

5. Внутридисциплинарная интеграция.

№ п/п	Название учебной дисциплины	Тема	Знать
1.	Математика	Правильные многогранники	Определение, элементы, свойства и формулы призмы.
2.	Математика	Объём призмы	Определение, элементы, виды, свойства и формулы призмы.

6. План и организационная структура лекции.

№ п/п	Основные этапы лекции и их содержание	Учебные цели в уровнях	Методы и способы активизации студентов. Материалы методического обеспечения.	Время в мин.
I.	Подготовительный этап			20
1.	Организация занятия. Проверка готовности студентов к занятию.			3
2.	Постановка учебных целей, мотивация, актуализация темы.			2
3.	Контроль уровня знаний студентов.	β-І, β-ІІ	Письменный индивидуальный опрос (кроссворд, «Загадочный многогранник»).	15
II.	Основной этап			55
4.	План:
	1. Понятие, основные элементы призмы.	β-І	Методы: беседа, объяснение. Игра «да» - «нет»	7
	2. Виды призм.	β-І, β-ІІ	Методы: беседа, объяснение, решение задач. 1. Информационные сообщения студентов: 1.1. Призма в архитектуре. 1.2. Александрийский маяк. 1.3 Призма в физике. 2. Тестовые задания. 3. Решить задачи: 3.1 Найти площадь боковой поверхности призмы. 3.2 Найти площадь полной поверхности призмы.	30
	3. Параллелепипед. Куб.	β-І, β-ІІ	Методы: беседа, объяснение, решение задач. 1. Блиц-опрос. 2. Решить задачи: 2.1 Найти длину ребра параллелепипеда. 2.2 Найти длину диагонали параллелепипеда. 2.3 Найти ребро куба и его диагональ.	18
5.	Закрепление изученного материала. Поэтапное закрепление материала.
III.	Заключительный этап			5
6.	Подведение итогов. Общие выводы. Выставление оценок.			3
7.	Домашнее задание. Учебник Л.С. Атанасян «Геометрия» Тема Призма Страницы 63-68			2

7. Материалы методического обеспечения занятия:

1. Конспект лекции.

2. Дидактический материал.

3. Демонстрационный материал.

4. Мультимедийная презентация.

5. Вопросы.

6. Задачи.

7. Опорный конспект.

8. Литература.

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10(11) кл. - М.:Просвещение, 2017.

9. Материалы методического обеспечения занятия.

I. Подготовительный этап.

1

2

. Решить кроссворд.

м

с 1

е

ч

е

н

и

е

4

е

о

д

к

г

3

г

и

у

о

2

р

ё

б

р

а

щ

г

а

г

а

3

в

е

р

ш

и

н

ы

о

я

а

и

н

н

4

а

н

в

ы

п

у

к

л

ы

й

и

ь

к

По вертикали:

1. Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника.

2. Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

3. Многоугольники, из которых составлен многогранник.

4. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

По горизонтали:

1. Общая часть многогранника и секущей плоскости.

2. Стороны граней многогранника.

3. Концы рёбер многогранника.

4. Многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости каждой его грани.

2. «Загадочный многогранник».

Изобразите выпуклый многогранник, который имеет 6 вершин и 8 граней.

Изобразите выпуклый многогранник, который имеет 8 вершин и 6 граней.

II. Основной этап.

1. Игра «да» - «нет».

1 . Многогранник, составленный из двух равных многоугольников A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n , называется призмой? (да)

2. Многоугольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n называются боковыми гранями? (нет)

3. Боковые грани призмы – это треугольники? (нет)

4. Отрезки A₁B₁, A₂B₂,…, A_nB_n называются боковыми рёбрами призмы? (да)

5. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы? (да)

6. Боковые рёбра призмы не равны и не параллельны? (нет)

7. Призму с основаниями A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n обозначают A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n? (да)

8. Призму, в основании которой лежит треугольник называют четырёхугольной? (нет)

2. Информационные сообщения студентов.

Призма в архитектуре

Городское пространство – это мир геометрических тел. Осмотритесь. Повсюду возвышаются статные призмы. Архитектурные здания – многогранники, а также их простые и сложные комбинации.

Геометрия и архитектура вместе зародились, развивались и совершенствовались: от простейших жилых конструкций до тщательно спроектированных шедевров. Прочность, красоту и гармонию зданий во все времена обеспечивала геометрия. В архитектуре городов её правила соединились с потребностями и фантазией человека.

Прямые призмы – самые распространённые многогранники в архитектуре любого города. Это маленькие «хрущёвки», многоэтажные дома, а также массивные небоскрёбы.

Х арактерным примером прямой призмы может стать известная на весь мир шестигранная башня Пирелли, возведённая в Милане в 1960 году. Небоскрёб отличался невиданной для тех времён высотой – 127 метров. И вмещал 32 этажа. Железобетонный гигант превзошёл даже Миланский собор, который венчала статуя Мадонны, что вызвало огромное возмущение общественности. Ведь здание оказалось выше святыни. Чтобы сгладить недовольство, спроектировавшим небоскрёб П. Л. Нерве и Дж. Понти пришлось поместить её копию на крышу своего творения.

Башня была построена по заказу знаменитой компании «Пирелли», производящей автомобильные шины, на том самом месте, где располагался её первый завод. Изящное здание с фасадом из алюминия и стекла стало символом возрождения экономики Италии после войны и получило звание самого элегантного небоскрёба в мире.

В Мадриде располагается ещё один не менее примечательный архитектурный объект. Башни «Ворота в Европу», имеющие форму наклонных призм, собирают вокруг себя не меньше туристов, чем здание Пирелли. Небоскрёбы высотой 114 метров наклоняются друг к другу под углом 15°.

Именно этой архитектурной особенности они обязаны своим названием. Американские инженеры и архитекторы Ф. Джонсон и Дж. Берджи сломали стереотипное представление о привычном облике высотных зданий, а башни «Ворота в Европу» стали первыми наклонными железобетонными гигантами в мире и одной из популярнейших достопримечательностей Мадрида.

Александрийский маяк

Александрийский маяк – одно из семи чудес света, был построен в III веке до н.э. в египетском городе Александрия, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту.

Создал маяк архитектор Сострат из Книдии. Александрийский маяк стал самым первым в мире маяком, и самым высоким строением древнего мира, не считая Великих пирамид в Гизе. Вскоре весть о Чуде разлетелось по всему свету и маяк стали называть по имени острова Фаросским или просто – Фаросом. Фаросский маяк состоял из трёх мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков.

О бщая высота маяка – 120 – 140 метров, его свет было видно на расстоянии 60 км. Нижняя часть представляла собой четырехгранную призму 60-метровой высоты с квадратной основой, длина стороны которой составляла 30 м. Во внутренних помещениях хранился разный инвентарь, а плоская крыша, украшенная по уголкам огромными статуями Тритона, служила основой средней части. Это была 40-метровая восьмигранная призма-башня, облицованная белым мрамором. Верхняя (третья) часть маяка была сооружена в форме цилиндрической колоннады – 8 колонн несли купол, увенчанный 8-метровой бронзовой фигурой повелителя морей Посейдона (или статуей Зевса Спасителя).

Чтобы поддерживать пламя, требовалось большое количество топлива. Дерево привозили по спиральному пандусу на телегах, запряжённых мулами. За пламенем стояли бронзовые пластины, направлявшие свет в море.

М аяк сделался символом Александрии. Его силуэт чеканили на монетах, изображали на сосудах, отливали и вырезали в виде сувенирных статуэток для греческих и римских путешественников.

Огонь Маяка светил вплоть до IV в. н.э., пережив и падение династии Птолемеев, и завоевания Александрии римскими легионами. Во времена Клавдия и Нерона маяк, страдавший от землетрясений и выветривания камня, восстанавливали. Однако 21 июля 365 года античный исполин был разрушен сильнейшим в истории Египта землетрясением, когда часть города ушла под воду и в одночасье погибло 50 000 жителей Александрии. Но даже в сильно разрушенном виде высота маяка составляла около 30 метров, являясь хорошим ориентиром на равнинном александрийском берегу. В таком виде маяк простоял до XIY в., когда после очередного землетрясения он был разобран на камни, а цоколь маяка был встроен в средневековую крепость. Впрочем, по иным сведениям, основание маяка вместе с частью других прибрежных александрийских земель ушло под воду, и в настоящее время находится на дне александрийской бухты.

В средние века остатки подиума Александрийского маяка были встроены в турецкую крепость Кайт Бей. Сейчас она превращена в египетский военный форт. Поэтому добраться до остатков маяка невозможно даже ученым-археологам.

Призма в физике

В 60-х годах ХVII столетия Исаак Ньютон проводил эксперименты со светом. Чтобы разложить свет на составляющие и получить спектр, он использовал трехгранную стеклянную призму.

Ученый обнаружил, что, собрав раздробленный луч с помощью второй призмы, можно опять получить белый свет. Так он доказал, что белый свет является смесью разных цветов. Проходя через призму, световые лучи преломляются.

«Я затемнил мою комнату, − писал он, − и сделал очень маленькое отверстие в ставне для пропуска солнечного света».

На пути солнечного луча ученый поставил особое трехгранное стеклышко – призму. На противоположной стене он увидел разноцветную полоску – спектр. Ньютон объяснил это тем, что призма разложила белый цвет на составляющие его цвета. Ньютон первый разгадал, что солнечный луч многоцветный.

Н о лучи разного цвета преломляются в разной степени – красный в наименьшей, фиолетовый в наибольшей. Именно поэтому, проходя через призму, белый цвет дробится на составные цвета.

Преломление света называется рефракцией, а разложение белого света на разные цвета – дисперсией.

3. Тестовые задания.

1. Призма является прямой, если:

а) боковые ребра перпендикулярны основаниям;

б) основания – правильные многоугольники;

в) некоторые боковые грани – квадраты.

2. Призма является наклонной, если:

а) боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований;

б) боковые рёбра не перпендикулярны плоскостям оснований;

в) основания – правильные многоугольники.

3. Призма является правильной, если:

а) в основании лежит правильный многоугольник;

б) боковые грани перпендикулярны основаниям;

в) она прямая и в основании лежит правильный многоугольник.

4. Высотой прямой призмы можно считать:

а) ребро основания;

б) боковое ребро;

в) любой отрезок, перпендикулярный основанию.

5. Площадь боковой поверхности призмы – это:

а) сумма площадей всех боковых граней;

б) сумма площадей двух оснований;

в) сумма площадей всех её граней.

6. Площадь полной поверхности призмы – это:

а) сумма площадей всех боковых граней;

б) сумма площадей двух оснований;

в) сумма площадей всех её граней.

7. Площадь боковой поверхности прямой призмы можно найти по формуле:

а) S_бок=S_осн·h;

б) S_бок=а·h, где а – сторона основания;

в) S_бок=Р_осн·h.

8. Площадь полной поверхности прямой призмы можно найти по формуле:

а) S_полн=S_осн+ S_бок;

б) S_полн=2S_осн+ S_бок;

в) S_полн=2Р_осн+ S_бок.

4. Решить задачи.

Задача 1. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.

Решение.

Рассмотрим трапецию ABCD. ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСD равнобедренная, то HG = BC = 9 см,

Рассмотрим треугольник АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания:

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

Ответ: 500 см².

Задача 2. Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна 15 см, а диагональ основания равна см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение.

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ – данная призма. Так как она правильная, то в основании лежит квадрат и она является прямой.

Тогда △BB₁D прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора:

Так как диагональ квадрата в раз больше его стороны, то

.

Следовательно,

(см²)

Ответ: 400 см².

З адача 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что Найдите длину ребра AA₁.

Решение

Най­дем диа­го­наль BD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD  по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник DD₁B. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 1 см.

Задача 4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что Найдите длину диагонали AC₁.

Решение.

Диагональ AC₁ можно найти из прямоугольного треугольника ACC₁. Для начала найдем BB₁ = CC₁ = 16 (см). По теореме Пифагора находим

Ответ: 18 см.

Задача 5. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 см². Найдите ребро куба и его диагональ.

Решение.

Через противоположные рёбра AB и D₁C₁ проведено сечение ABC₁D₁ – прямоугольник.

Пусть ребро куба равно а. AD₁ = BC₁ = (как диагонали граней).

отсюда

Ответ: 8 см, см.

5. Блиц-опрос.

1. Призма, в основании которой лежит параллелограмм? (параллелепипед)

2. Параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований? (прямой)

3. Параллелепипед, у которого боковые рёбра не перпендикулярны плоскостям оснований? (наклонный)

4. Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник? (прямоугольный)

5. Все грани прямоугольного параллелепипеда? (прямоугольники)

6. Квадрат любой диагонали в прямоугольном параллелепипеде? (сумма квадратов трёх его измерений)

7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны? (куб)

8. Все грани куба? (квадраты)

9. Формула диагонали куба?

10. Формула площади боковой поверхности куба?

11. Формула площади полной поверхности куба? (

10. Содержание лекционного материала.

План:

1. Понятие, основные элементы призмы.

2. Виды призм.

3. Параллелепипед. Куб.

1. Понятие, основные элементы призмы.

Рассмотрим два равных многоугольника A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенных в параллельных плоскостях и так, что отрезки A₁B₁, A₂B₂, …, A_nB_n, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1). Каждый из n четырёхугольников

A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n

я вляется параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырёхугольнике A₁A₂B₂B₁ стороны A₁B₁ и A₂B₂ параллельны по условию, а стороны A₁A₂ и B₁B₂ – по свойству параллельных плоскостей, пересечённых третьей плоскостью.

М

Рис. 1

ногогранник, составленный из двух равных многоугольников A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n , называется призмой (см. рис. 1).

Многоугольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n называется основаниями, а параллелограммы A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n – боковыми гранями призмы. Отрезки A₁B₁, A₂B₂,…, A_nB_n называются боковыми рёбрами призмы. Эти рёбра как противоположные стороны параллелограммов A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n обозначают A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n и называют
n-угольной призмой. На рисунке 2 изображены треугольная и шестиугольная призмы.

Рис. 2

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

2. Виды призм.

2.1 Прямая призма – призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны к основаниям (рис. 3).

Боковые грани прямой призмы прямоугольники, высота равна её боковому ребру. Изображая прямую призму на рисунке, боковые рёбра обычно проводят вертикально (см. рис. 3).

Рис. 3 Рис. 4

2.2 Наклонная призма – призма, у которой боковые рёбра не перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 4).

2.3 Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. На рисунке 3 изображена правильная пятиугольная призма.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей её боковых граней. Площадь полной поверхности выражается через площадь боковой поверхности и площадь основания призмы формулой

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Теорема

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, то есть на длину бокового ребра.

Доказательство

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Итак,

Теорема доказана.

3. Параллелепипед. Куб.

Если основанием призмы является параллелограмм, то она называется параллелепипедом.

Теорема

Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Доказательство

Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например и (рис. 5). Так как все грани параллелепипеда – параллелограммы, то прямая параллельна прямой а прямая параллельна прямой Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Рис. 5

Из того, что грани параллелепипеда – параллелограммы, следует, что отрезки и параллельны и равны. Отсюда делаем вывод, что грань совмещается параллельным переносом вдоль ребра с гранью Следовательно, эти грани равны.

А налогично доказываем параллельность и равенство любых двух противолежащих граней параллелепипеда.

Теорема доказана.

В

Рис. 6

се четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам (рис. 6). O – центр симметрии параллелепипеда, середина

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений (рис. 7).

Рис. 7

Куб

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны (рис. 8).

Свойства

1. У куба все грани – квадраты.

2. 

   Рис. 8

   где ребро куба, диагональ куба).

3. 

4.