Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
«Волгоградский медико-экологический техникум»
Методическая разработка занятия математики по теме
«Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера»
(раздел «Линейная алгебра»)
Разработала: |
Преподаватель математики |
ГАПОУ «ВМЭТ» |
Димитрова Татьяна |
Викторовна |
Волгоград, 2019
СОДЕРЖАНИЕ
Аннотация 3
Введение 4
Основная часть: 7
Описание и структура урока 8
Список литературы: 15
Приложение1 16
Приложение 2 18
Аннотация В данной методической разработке представлен урок математики в виде практического занятия по теме «Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера». Разработка может быть использована при изучении темы «Решение систем линейных уравнений» студентами вторых курсов по специальности «Пожарная безопасность».
Занятие построено с применением интегративных связей специальности, учебных дисциплин математика и информатика с элементом проблемного метода обучения. Тема «Решение систем линейных уравнений» входит в программу учебной дисциплины «Математика» по специальности 20.02.04. Пожарная безопасность.
В методической разработке представлен пример решения проблемы дефицита времени на отработку умения применять метод Крамера к решению системы линейных уравнений с тремя неизвестными, которые служат инструментом решения задач с профессиональным содержанием. Для решения данной проблемы применяю информационные технологии, в частности, приложение Microsoft Offiсe Excel. Использование данного программного продукта позволяет экономить время при вычислении определителей и позволяет больше времени выделить для составления и решения систем уравнений, то есть, для решения задач с профессиональным содержанием.
Методическая разработка будет полезна преподавателям и учителям математики, а также студентам.
Введение
«Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни од ной.».
А. Эйнштейн
Перемены, происходящие в последнее время в нашем обществе и в мире в целом, влекут за собой изменения и в области образования. Эти изменения обусловливают необходимость формирования у современного человека потребности в непрерывном развитии и самосовершенствовании.
Мы уже отошли от того времени, когда профессиональную подготовленность выпускника оценивали в терминах «знания-умения-навыки», ориентированных на оценку умения решать специально придуманные («игрушечные») учебные задачи. В настоящее время осуществляется другой, компетентностный подход к организации образовательного процесса, при котором формулирование целей образования и оценивание его результатов производится в терминах общих и профессиональных компетенций, важнейшей из которых является готовность выпускника к решению реальных прикладных, профессионально значимых задач.
Необходимость подготовки выпускника, способного решать профессионально значимые задачи, порождает ещё одну особенность профессионально направленного обучения. Дело в том, что, реальные прикладные задачи гораздо более объёмны и громоздки, чем традиционные учебные задачи, их, как правило, невозможно решать «вручную». А у преподавателя возникает дефицит времени. Поэтому профессиональная направленность обучения делает практически необходимым ранжирование образовательных задач и использование в обучении современных компьютерных технологий (СКТ).
Таким образом, профессиональное образование на современном этапе должно обладать, по меньшей мере, четырьмя особенностями: профессиональная направленность, компетентностный подход, модульно-рейтинговая система обучения, использование систем компьютерной математики (СКМ).
Переходя к разделу линейная алгебра на втором курсе математики у студентов сразу появляется ряд вопросов, что это за алгебра такая, зачем она нам нужна, где это пригодиться в жизни... Не исключением является и тема «Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными», включающаяся в данный раздел.
В связи с этим возникает проблема № 1:, как же привлечь интерес и внимание студентов к данной теме, и сделать занятие интересным, увлекательным и полезным?
И проблема № 2: где взять время на выработку умения применять математические знания в решении профессиональных задач?
Вызвать интерес, который так необходим учащимся, на мой взгляд, можно только демонстрацией возможностей математических инструментов в решении производственных или практических задач.
Время на выработку необходимых умений можно сэкономить на выполнении арифметических действий. Считаю, что на представленном занятии приоритетной целью является формирование умения применять теорему Крамера к решению профессиональных задач. В связи с чем, вычисления определителей и корней системы уравнений с тремя неизвестными предлагаю выполнять с использованием приложения Microsoft Offiсe Excel. Выполнение вычислений в данном приложении введением формул и использованием автоформул также является частью программы по учебной дисциплине Информатика и ИКТ.
Таким образом, мною была выдвинута гипотеза:
без использования задач с производственным или практическим содержанием невозможна мотивация студентов на изучение темы «Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера»;
без применения компьютерных технологий невозможно выделить достаточный объем времени для формирования умения применять системы линейных уравнений с тремя неизвестными для решения производственных и практических задач.
Практическая значимость: данная методическая разработка может быть полезна преподавателям и учителям математики, а также студентам СПО. В ней содержатся практические рекомендации по организации и проведению практического занятия по математике, способствующие повышению мотивации студентов при изучении темы «Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера».
Основная часть: Методическое обоснование темы:
Данная тема изучается в конце второго семестра учебного года и является логическим завершением раздела: «Линейная алгебра». Линейная алгебра насыщена объемными трудоемкими вычислениями. В связи с этим у преподавателя создается дефицит времени на формирование целевых умений. Поэтому в мире компьютеров и информационных технологий становиться актуальным применение различных математических пакетов и программ для выполнения арифметических вычислений.
Методические рекомендации по проведению занятия:
Подготовка к занятию ведётся в течение недели. При организации самостоятельной работы студентам выдается задание по актуализации опорных знаний. В рассматриваемом случае это выполнение арифметических действий с использованием приложения Microsoft Offiсe Excel. И задания на вычисление определителей.
Занятие необходимо проводить в кабинете с достаточным количеством ПК, на которых установлен пакет Microsoft Offiсe.
Описание и структура урока Тема занятие: Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.
Тип занятия: открытие новых знаний.
Вид занятия: интегрированное занятие.
Формируемые компетенции:
осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития (ОК-4).
использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности (ОК-5).
В результате изучения темы студент должен:
знать:
уметь:
составлять системы линейных уравнений с тремя неизвестными для решения производственных и практических задач;
решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера;
Цель занятия: создать условия для формирования умения обучающихся использовать метод Крамера при решении систем линейных уравнений.
Задачи занятия:
Обучающая: Научить решать системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.
Развивающая: Развить логическое мышление, память, творческую активность, умения и навыки работы с программой Exсel.
Воспитательная: Формировать потребность рационально использовать время на уроке и оценивать результаты своего труда.
Продолжительность занятия: 45 минут.
Оснащение занятия: ПК, проектор, Microsoft office (PowerPoint и Exсel).
№ п/п | Название этапа | Описание деятельности | Педагогическая цель этапа | Время этапа |
преподавателя | студента |
1. | Организационный | - Здравствуйте ребята! - Кого сегодня нет на занятии? Для прогнозов и оценок функционирования предприятий, экспертных оценок проектов, а также для планирования микроэкономики предприятий часто приходиться решать типовые задачи следующего вида: (см.презентация). Частным лицом куплены три пакета акций общей стоимостью 1030 ден. ед., причем акции первой группы куплены по 2 ден. ед. за акцию, второй – по 3, третьей – по 5. Через месяц стоимость акций первой, второй и третьей групп составила соответственно 3, 2 и 1 ден. ед., а стоимость всего пакета была 620 ден. ед. Еще через месяц они стоили по 1, 1 и 3 ден. ед. соответственно, а весь пакет стоил 510 ден. ед. сколько акций каждой группы было куплено? Месяц | Денежные расходы по видам акций, ден.ед. | Затраты, ден.ед | 1 | 2 | 3 | I | 2 | 3 | 5 | 1030 | II | 3 | 2 | 1 | 620 | III | 1 | 1 | 3 | 510 | - Как вы предполагаете начать решение задачи? - Совершенно верно, что в задаче присутствуют три неизвестных, а раз есть неизвестные то нам необходимо составить уравнение, а как вы думаете сколько их будет? - По данным задачи составляется система линейных уравнений. | - Здравствуйте. - Дежурный сообщает преподавателю фамилии отсутствующих. - Высказывают свое мнение решения задачи, предлагают варианты. -Три | Создать рабочую атмосферу в группе, настроить на рабочий лад. Направить на формулировку темы занятия, целей занятия. | 5 мин. |
2. | Актуализация знаний | - Скажите а раньше вы сталкивались с решением систем уравнений? - Какие способы решения их знаете? -Как вы думаете можно ли эти методы решения применить для нашей системы уравнений? -Вы правильно предположили, что решение требует достаточно громозких математическим вычислений. Именно поэтому я предлагаю вам познакомится еще с одним методом решения систем линейных уравнений под названием "Метод Крамера". - Формулирует вместе с ребятами тему занятия и цели занятия (см.презентация). | - Да, но в них было две неизвестных. - Метод алгебраического сложения, подстановка и графический. - В принципе можно, но это очень долго и не всегда эффективно. Дописывают в тему "методом Крамера" Записывают тему в тетрадь. | Актуализировать ранее полученные знания, для применения их в новых условиях. | 5 мин. |
3. | Объяснение нового материала | -Для начала запишем определение: Система вида: где x, y, z –неизвестные. числа – коэффициенты при неизвестных, а - свободные члены; называется системой линейных уравнений с тремя неизвестными. Одним из способов решения данной системы является метод Крамера. Он состоит в следующем: 1. Составляется и решается определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных. Если то данная система имеет единственное решение. 2. Составляется и решаются ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных коэффициентов. 3. Находим неизвестные по формулам: 4. Возможны случаи: и каждый определитель , тогда система имеет бесконечное множество решений; Если же , а хотя бы один из определителей , то говорят, что такая система не имеет решений. - Давайте попробуем применить данный метод к нашей системе. 1. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных: А затем как требует метод, еще три определителя заменой последовательно каждого из столбцов, столбцом свободных коэффициентов: - - Умнички, как быстро справились с данным заданием! - Дальше как вы понимаете нам нужно решить данные определители, сколько способов вычисления определителей вы знаете? -Совершенно верно, решая определители какая самая главная сложность у вас возникала? -А как вы думаете, на уроках информатики вы наверняка уже знакомились с разного рода приложениями которые облегчают вычисления, какие вы знаете? - Вот одним из них я предлагаю вам воспользоваться. Например с помощью программы Excel? - Ведь часто на работе или даже переходя к нашей задачи, приходиться применять математические знания, а арифметические действия оставлять машине. Что я Вам и хочу предложить сделать. - А знаете ли Вы как вычислить определитель с помощью приложения Excel? - А я сейчас вас этому научу. - Для начала я открою заранее подготовленный шаблон, в нем уже есть наша система и выписанные коэффициенты из которых составлены определители (см. приложение рис.1-3) - Итак чтобы вычислить определитель в приложении есть специальная функция, которая находиться во вкладке математические и называется МОПРЕД, выбрав ее необходимо ввести диапазон значений необходимых для вычисления, т.е. наши ячейки с коэффициентами определителя, после чего появляется ответ, неправда ли быстро? Столько бы вы потратили решая данный определитель в ручную? - С остальными определителями предлагаю провести аналогичные действия. (см. приложение рис 4-5). - Мы нашли чему равны наши коэффициенты? - А что же нам остается сделать? -Совершенно верно, об этом нам говорит метод Крамера. | -Записывают определение в тетрадь, делают краткий конспект. -Составляем определители путем замены каждого столбца, столбцом свободных коэффициентов -Два, по правилу треугольника и с помощью разложения по элементам строки или столбца. - Вычислительные действия - Озвучивают свои варианты. - Возможны трудности. - Да! Намного больше -Нет - Поделить определитель 1 на основной определитель. | Формировать умение самостоятельно анализировать условие и применять метод Крамера для решения математической задачи. Развить познавательную самостоятельность студентов в процессе решения задач. Сформировать потребность в знаниях (видеть проблему) | 13 мин. |
4. | Закрепление полученных знаний. (Самостоятельная работа студентов) | Предлагаю Вам попробовать свои силы. Решить аналогичные задачи, составив систему уравнений, а затем решить ее по средствам Excel (используя памятку-алгоритм, см. приложение 3). Предлагаю разбиться по парам и сесть за компьютеры. Ответы к данной задачи произносятся и проверяются в слух, после чего, еще раз проговаривается алгоритм действий. | - Разбиваются по парам и садятся за компьютеры. (у каждого на рабочем столе файл под названием Система линейных уравнений с задачей, см приложение рис. 6 и готовые шаблоны ) | Развить познавательную самостоятельность студентов в процессе решения задач. Научить применять математические знания в программе Exсel. Сформировать способность к самооценке. | 20 |
5 | Домашнее задание | Проводиться рефлексия. Раздается на листочках 2 задачи (см.приложение 2). Спасибо за внимание! | | | 2 мин |
Список литературы: Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задачи. М. Дрофа. 2005 г.
Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. М. Высшая школа. 2000 г.
Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. — 5е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2014. — 464 с.
Приложение1
Рисунок 1 Рисунок 2
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 5
Рисунок 6
Приложение 2 Домашнее задание
Задача 1
Из Москвы в Казань необходимо перевезти оборудование трех типов:
I типа — 95 ед., II типа — 100 ед., III типа — 185 ед.
Для перевозки оборудования завод может заказать три вида транспорта. Количество оборудования каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице.
Тип оборудования | Количество оборудования | Кол-во .ед |
I | II2 | III3 |
Т1 | 3 | 2 | 1 | 95 |
Т2 | 4 | 1 | 2 | 100 |
Т3 | 3 | 5 | 4 | 185 |
Установить, сколько единиц транспорта каждого вида потребуется для перевозки этого оборудования.
Задача 2
Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:
Тип заготовки | Способ раскроя |
I | II2 | III3 |
Т1 | 3 | 2 | 1 |
Т2 | 4 | 1 | 2 |
Т3 | 3 | 5 | 4 |
Найти количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами.
Приложение 3 Алгоритм – памятка
для решения систем линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера в Microsoft office Excel
Составляется определитель системы отдельно выписывается столбец свободных коэффициентов:
Составить еще три определителя путем поочередной замены 1, 2 и 3 столбца столбцом свободных коэффициентов
Чтобы вычислить значение определителя надо сделать ячейку активной, щелкнув по ней кнопкой мыши, затем вызвать функцию МОПРЕД
2
4
1
3
Функция МОПРЕД имеет следующий синтаксис МОПРЕД (массив), т.е. надо в появившемся диалоговом окне ввести массив (значение) нашего определителя, это можно сделать как в ручную, так и выделением определителя, тогда массив запишется автоматически, после чего нажимаем на кнопку «ОК»:
В активной ячейке появляется ответ, т.е. найденный определитель.
Проводим аналогичные действия из пункта 4 для следующих трех определителей.
Находим значения неизвестных, для этого делаем ячейку активной а в строке функция ставим знак «=» и прописываем формулу деления, а именно, название ячеек в которой вычислен первый определитель, ставим знак «/» и название ячейки в которой вычислен главный определитель.
Аналогично вычисляем y и z.