Число:
Тема урока: Радианная мера угла
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом
Цель урока: познакомить учащихся с понятием радианная мера угла
Учебно-воспитательные задачи урока:
Образовательные
Рассмотреть связь между радианной и градусной мерами угла;
Закрепить умения выполнять переход от радианной меры угла к градусной мере и наоборот.
Развивающие
Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале
Формирований умений пользоваться алгоритмом перевода радианной меры угла к градусной мере и наоборот
Воспитательные
воспитания интереса к предмету
воспитание ответственного отношения к своему образованию.
Средства обучения: индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. М.: Просвещение, 2014.
План урока
№ | Этапы урока | время | Методы и методические приемы |
1 | Орг.момент | 1 мин | Словесный(приветствие) |
2 | Сообщение темы и целей урока | 1 мин | Словесный, практический |
3 | Изложение нового материала | 15 мин | Словесный, практический |
4 | Закрепление материала | 20 мин | Практический |
5 | Подведение итогов. Домашнее задание. Рефлексия | 3 мин | Словесный (запись на доске), оценивание |
8. Ход урока
I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверка готовности класса к уроку.
II. Сообщение темы и целей урока.
III. Объяснение нового материала.
Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним некоторые понятия из курса геометрии.
Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.
Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.
Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.
Градусом называют величину центрального угла, которому соответствует часть окружности.
Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.
Углы можно измерять только в градусах? Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одну единицу измерения углов.
Давайте изобразим окружность с центром в точке и радиусом . Затем проведём вертикальную прямую, которая касается окружности в точке . Эту прямую мы будем считать числовой осью с началом отсчёта в точке . Положительным направлением на прямой будем считать направление вверх. За единичный отрезок на числовой оси возьмём радиус окружности.
Отметим на прямой несколько точек: и , и , и , и , и .
Т еперь представим нашу прямую в виде нерастяжимой нити, которая закреплена на окружности в точке . Будем наматывать нить на окружность. При этом точки на числовой прямой с координатами , , , перейдут соответственно в точки окружности , , , . При этом длина дуги равна , длина дуги равна , длина дуги равна , длина дуги равна .
Получается, что каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.
Т ак, точке прямой с координатой ставится в соответствие точка . А значит, угол можем считать единичным? Да, и его мерой мы будем измерять другие углы. Например, угол следует считать равным , а угол равным . Такой способ измерения углов считается измерением в радианной мере.
Единичный угол называют углом в один радиан. Записывают так: рад.
И напомним, что длина дуги равна радиусу нашей окружности.
С ейчас давайте рассмотрим окружность радиуса . И отметим на ней дугу , равную длине радиуса окружности, и угол .
Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.
Обозначается 1рад.
Давайте найдём градусную меру угла в один радиан. Мы знаем из курса геометрии, что дуге длиной , то есть полуокружности, соответствует центральный угол, равный . Следовательно, дуге окружности длиной соответствует угол в раз меньший.
Выше мы назвали такой угол углом в один радиан, а значит, можем записать, что рад . , тогда рад .
Если угол содержит рад, то
рад (1) -формула перехода от радианной меры к градусной.
Пример: найдём градусную меру угла, равного рад.
Воспользуемся формулой перехода от радианной меры к градусной. Подставим вместо : . Получим .
Можно перейти от градусной меры к радианной: так как угол в равен рад, то рад. Тогда
рад (2) - формула перехода от градусной меры к радианной.
Пример: найдём радианную меру угла, равного .
Воспользуемся формулой перехода от градусной меры к радианной. Подставим вместо : . Получим .
При обозначении меры угла в радианах слово «радиан» обычно не пишут: .
Обозначение градуса в записи меры угла пропускать нельзя.
В следующей таблице представлены углы в градусной и радианной мере, с которыми мы будем встречаться чаще всего.
Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так, выше мы выяснили, что угол в рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу , а значит, угол в рад стягивает дугу длиной: (3).
Если , то эта формула принимает совсем простой вид: , то есть длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой.
Сейчас, прежде чем приступить к выполнению заданий, мы докажем, что площадь кругового сектора радиуса , образованного углом в рад, равна (4) , где .
Докажем это. Известно, что площадь круга вычисляется по формуле: Площадь полукруга, то есть кругового сектора в рад: . Тогда площадь сектора в рад в раз меньше, то есть . Следовательно, площадь сектора в рад равна .
И немного истории: Впервые радиан как единица измерения был использован английским математиком Роджером Котсом в 1713 году. Он считал, что радиан является наиболее естественной единицей измерения углов. Термин «радиан» впервые появился в печати в 1873 году в экзаменационных билетах Университета Квинса в Белфасте, составленных британским инженером и физиком Джеймсом Томсоном.
В 1960 году XI Генеральной конференцией по мерам и весам радиан был принят в качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ).
IV. Закрепление материала
Пример 1. Найти градусную меру угла, равного рад.
Решение: Используя формулу (1),
находим . Ответ: .
Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60 .
Решение: рад
рад Ответ: рад, рад.
Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .
Решение: Используя формулу (3), получим:
Ответ: .
Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .
Решение: По формуле (4) вычисляем
Ответ: 45 м2
Физкультминутка.
Дополнительные задания:
1. Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение.
2. Найдите радианную меру угла, выраженного в градусах:
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение.
3. Чему равен радиус окружности, если дуге длиной см соответствует центральный угол в рад?
Решение.
4. Дуге кругового сектора соответствует угол, равный рад. Чему равна площадь сектора, если радиус круга равен см?
Решение.
V. Итоги урока. Рефлексия
Домашнее задание. П.21 . №№ 407,408, 411.