Методы решений тригонометрических уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 г. Южи Ивановской области

Исследовательский проект по теме:

«МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Работа ученика 10 класса

Акбарова Андрея

Руководитель: Чурина

Елена Вениаминовна,

учитель математики

Работа допущена к защите «_____» _______________ 202____г.

Подпись руководителя проекта ______________(__________________)

г. Южа

2021 год

Содержание:

Введение……………………………………………………….................3

Теоретическая часть:

Определение тригонометрических уравнений…………….......4

Виды тригонометрических уравнений...................................4

Способы решений тригонометрических уравнений.............4

Практическая часть:

Решение простейших тригонометрических уравнений........5

Решение однородных тригонометрических уравнений.......10

Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным....................................................................................15

Решенип тригонометрических уравнений смешанного типа...19

Вывод……………………………………………………………..24

Заключение………………………………………………………….24

Источники……………………………………………………………25

Введение.

Тригонометрические уравнение ещё в древних временах возникали из задач по физике, астрономии и многим другим наукам. Ещё тогда математики начали выводить простейшие тригонометрические уравнения для решения прямоугольных треугольников. Методы их решений рождались из алгебры и формировались с развитием тригонометрических функций.

Цель работы: распределить тригонометрические уравнения по видам, способам решений.

Гипотеза: не существует универсальный способ для решения всех видов тригонометрических туравнений

Задачи:

1.    Изучить теоретические сведения по данной задаче.

2.    Проанализировать действующие по этой теме источники на наличие задач данного типа.

3.    Найти примеры задач данного типа.

Методы, которые использовались при разработке проекта:

1.    Анализ достоверных источников информации.

2.    Сравнение сведений, которые касаются проекта.

3.    Обобщение сведений.

Определение тригонометрических уравнений

виды и способы их решений.

Тригонометрическое уравнение - уравнение, содержащее любую тригонометрическую функцию.

Решение тригонометрического уравнения - это набор неизвестных чисел, который представляет уравнение в тождество.

Виды тригонометрических уравнений:

1. Простейшие тригонометрические уравнения.

2. Однородные тригонометрические уравнения.

3. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

4. Тригонометрические уравнения смешанного типа.

5. Квадратные тригонометрические уравнения.

Способы решений тригонометрических уравнений:

1. Графический.

2. Аналитический.

Практическая часть.

1.Решение простейших тригонометрических уравнений:

2. Решение однородных тригонометрических уравнений:

-однородное тригонометрическое 1 степени, делим обе части на косинус угла х. В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin² х +cos² х = 1. Значит, в этом выражении cos х ≠ 0.

Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cosх

1. Решение:

Ответ: 

однородное тригонометрическое 2 степени, В рассматриваемом варианте cos x не допустимо приравнять к нулю. Если допустить что cos х = 0, то тогда и sin х = 0. И в таком случаем не осуществилось бы соотношение sin² х +cos² х = 1. Значит, в этом выражении cos² х ≠ 0.

Следовательно, обе части указанного выражения можем поделить на cosх

1. Решение:

.

Ответ: 

Решение:

Используем формулы двойного аргумента:

Подставим их в исходное уравнение и домножим на тригонометрическую единицу 2, стоящую в правой части.

Ответ:

Решение:

В такой записи уравнение не является однородным.

Используем формулу синуса двойного аргумента.

Теперь уравнение однородное.

Решим его.

 , 

Ответ: 

6.

Решение:

Ответ:

3. Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным:

1.

1) Воспользуемся формулой приведения:

Получим уравнение:

2) Теперь    нам удобно выразить через  , поскольку в уравнении присутствует  :

, где 

Ответ: , где 

2.

Упростим выражение   - разложим его на множители формуле разности квадратов:

Получим:

Введем замену переменной:  , 

Получим квадратное уравнение:

По теореме Виета находим корни:  ,   . Оба корня нас устраивают.

Теперь можем вернуться к исходной переменной, получим:

 или 

, или  ,  где 

Ответ:  ,  ,  где 

3. 6cos² x + 5 sin x – 7 = 0.

Решение:

Решение:

Возведем обе части равенства в квадрат. Для соблюдения равносильности будем рассматривать только те значения переменной х, при которой   (*).

 . Раскроем скобки в правой части уравнения и получим:

Так как   , то получаем:

 или

.

Решая это уравнение, мы можем ввести новую переменную  :

t(3t+4)=0

 ,  .

С учетом (*) получаем:  .

Ответ: 

Решение:

Пусть  ,  ,

тогда вспомогательное уравнение:  , или  .

, или 

 ,   ,  .

Ответ:  .

Решение тригонометрических уравнений, смешанного типа:

Решите уравнение: 

Преобразуем уравнение:

Ответ: 

Решите уравнение: 

Преобразуем исходное уравнение:

Ответ:  

Решите уравнение 

Решение:

Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, либо   откуда   либо   откуда   или 

Ответ:  

Решите уравнение:

Решение:

Заметим, что:   Далее имеем:

Ответ:

Решите уравнение: 

Решение:

Последовательно получаем:

Ответ:  

Выводы.

Делая данную работу:

• Научился работать с источниками информации;

• Изучил теоретические сведения по данному вопросу;

• Научился представлять результаты своей работы.

Моя гипотеза в процессе выполнения работы подтвердилась.

Заключение.

В ходе работы я понял, что тригонометрические уравнения появились давно, и, как и многие другие знания по математике, связаны с иными науками.

Изучил материал и узнал виды тригонометрических уравнений,способы их решений.

Мое исследование может быть интересно учащимся 10-11 классов при подготовке к государственной итоговой аттестации по математике.

Источники:

• https://resh.edu.ru/subject/lesson/6314/conspect/199927/

• https://yandex.ru/turbo/ege-ok.ru/s/2012/02/24/vse-tipyi-trigonometricheskih-uravneniy-chast-1

• https://yandex.ru/turbo/urok.1sept.ru/s/articles/629673

• https://infourok.ru/konspekt-po-matematike-klass-smeshannie-trigonometricheskie-uravneniya-1448867.html

• https://resh.edu.ru/subject/lesson/6321/conspect/199988/

• https://ya-znau.ru/znaniya/zn/280

• https://babaev-an.ru/simple_trigonometric_equations.html