Методические рекомендации к практическому занятию «Перпендикуляр и наклонная»

министерство образования и науки Волгоградской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Волжский политехнический техникум»

Методические рекомендации

к практической работе

по теме «Перпендикуляр и наклонная»

Учебная дисциплина: Математика

Курс: 1

Преподаватель: Курлович Е.П.

Практическое занятие №1

Тема: Перпендикуляр и наклонная.

Цели:

Дидактические:

1. Проконтролировать уровень усвоения теоретического материала.

2. Рассмотреть связь между перпендикуляром, наклонной и проекцией наклонной, систематизировать и закрепить эти понятия в ходе решения типовых задач по этой теме.

3. Корректировка знаний, умений, навыков.

Развивающие:

1) Развивать пространственное воображение.

2)Развивать умение выделять главное, развивать умение обобщать, делать вывод на основе сравнения;

Воспитательные:

1) поддерживать интерес к предмету, воспитывать познавательную активность, способствовать формированию коммуникативной компетентности.  

План занятия:

1. Подготовительный этап.

Повторение опорных знаний.

1) Определение наклонной (чертёж).

2) Перпендикуляр из точки к плоскости (чертёж).

3) Расстояние от точки до плоскости.

4) Проекция наклонной (чертёж).

5) Угол между наклонной и плоскостью (чертёж).

6) Угол между наклонными (чертёж).

7) Угол между проекциями наклонных (чертёж).

8) Расстояние между основаниями наклонных (чертёж).

9) Теорема Пифагора.

10) Теорема о трёх перпендикулярах.

1. Теоретический этап.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий даную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

AB - наклонная.
B - основание наклонной.

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

AC - перпендикуляр.

C - основание перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

CB - проеция наклонной AB на плоскость α.

Треугольник ABC прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

CBA - угол между наклонной AB и плоскостью α.

Если ADAB, то DCBC

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

DAB - угол между наклонными
DCB - угол между проекциями наклонных
Отрезок DB - расстояние между основаниями наклонных.

Применение знаний при решении типовых заданий.

Задача 1

Из точки К, на расстоянии 9 см, к плоскости опущен перпендикуляр КС и проведена наклонная КМ, равная 15 см.

Найти проекцию наклонной. ( Устно, менять условие, найти наклонную, найти перпендикуляр)

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник КСМ: (КС-перпендикуляр, по условию), по теореме Пифагора:

=12 (см)

Ответ: Проекция наклонной МС=12 см.

Задача2

К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 8 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

Решение: Рассмотрим треугольник АВО: прямоугольный, ВО-

В

расстояние от точки В до плоскости перпендикулярно АО. Следовательно угол В=30, а АО =4 см, как катет лежащий против угла в 30.

По теореме Пифагора:

В = (см)

Ответ: 4 см.

Задача 3

АВ перпендикулярно плоскости α. Наклонная AС  образует с плоскостью α , угол 60, а наклонная АD равна . Длина проекции наклонной ВD равна 2 см.

Вычисли длину наклонной АС.

Решение:

А

D

С

В

Решение:

1. Рассмотрим о теореме Пифагора: ;

АВ=.

1. Угол АСВ = 60(по условию), следовательно САВ=30.

2. Рассмотрим , ;

АС =;

АС = 2.

Ответ: 2см.

Задача 4

Отрезок АB длиной 6 м, пересекает плоскость β в точке O. Расстояние от концов отрезка до плоскости соответственно равны 3 м и 6 м. Найди острый угол, который образует отрезок АB с плоскостью β.

О

Решение:

1. Пусть АО=х, тогда ОВ=.

2. подобен (угла при вершине О, равны как вертикальные, углы Р и К , равны 90.

;

;

;

1. Рассмотрим

sin РАО =

1. Практический этап.

Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.

Провести самостоятельную работу в 4 вариантах.

Планируемый результат: после выполнения практических заданий студент должен:

1. уметь: выполнять чертежи по условию задачи, находить на чертежах перпендикуляр, наклонную, проекцию наклонной, угол между наклонной и плоскостью, угол между проекциями наклонных, применять ранее изученный теоретический материал при решении задач по их нахождению, обосновывать решения задач и письменно оформлять их;

2. знать: основные определения и теоремы по теме «Перпендикуляр и наклонная»;    

Требуемое время: 2 академических часа.

Раздаточный материал:

1.Справочный материал по теме;

2.Дидактические карточки 4 вариантов.

Основная литература:

1. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа, часть 2.-М.,Наука,1981.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике -М.,ВШ,1990.

3. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика -М., Дрофа, 2006.

4. Ковалёва Г.И. Геометрия 10-11 классы. Задания на готовых чертежах.

5. Интернет ресурсы: http://www.yaklass.ru/

6.  Учебник для техникумов и вузов. Богачкина Наталия. Шпаргалка по педагогической психологии.

Вариант 1

на «3»:

1) Прямая a пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 30°. В∈a, точка А - проекция точки В на плоскость β. ВC=12 см. Найдите ВА.

на «4»:

2) К плоскости α проведена наклонная AС (A∈α). Длина наклонной равна 24 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычислите, на каком расстоянии от плоскости находится точка С.

на «5»:

3) Наклонная AК с плоскостью α образует угол 30, а наклонная КC с плоскостью α образует угол 45. Длина перпендикуляра КB равна 12 см.

Вычислите длины наклонных.

Вариант 2

на «3»:

1) К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 25 см, проекция наклонной равна 15 см . На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная?

на «4»:

2) К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 12 см, наклонная с плоскостью образует угол 45°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

на «5»:

3) Проекции наклонных AD и DC на плоскости α равны соответственно 8 см и 4 см, а угол между ними равен  120°. Вычислите расстояние между концами проекций наклонных.

Вариант 3

на «3»:

1) Прямая a пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 30°. P∈a, точка N - проекция точки P на плоскость β. PN=5 см. Найдите PC.

на «4»:

2) К плоскости α проведена наклонная AC (A∈α). Длина наклонной равна 16 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычислите, на каком расстоянии от плоскости находится точка C. 

на «5»:

3) Наклонная AD с плоскостью α образует угол 30, а наклонная DC с плоскостью α образует угол 45.Длина перпендикуляра DB равна 32 см.

Вычислите длины наклонных.

Вариант 4

на «3»:

1) Прямая a пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 30°. P∈a, точка F - проекция точки P на плоскость β. PC=14 см. Найдите PF.

на «4»:

2) К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 12 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычислите, на каком расстоянии от плоскости находится точка B. 

на «5»:

3) Наклонная AD с плоскостью α образует угол 30, а наклонная DC с плоскостью α образует угол 45. Длина перпендикуляра DB равна 22 см.

Вычислите длины наклонных.