Многоугольник на решетке, формула Пика. Площадь многоугольника. задачи

Теорема ПИКА

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

B – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

I – ко узлов внутри  треугольника*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

1. Доказательство в несколько этапов: от самых простых фигур до произ многоуголь:

Единичный квадрат. для него , , , и формула верна.

Произвольный невырожденный прямоуг со стор, паралл осям коорд. Для доказательства формулы обозн через и длины сторон прямоугольника. Тогда : , , . подставив убеждаемся, что ф-ла Пика верна.

Прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для док заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением нек прямоуг его диагональю. Обозначим через число целочисленных точек, лежащих на диагонали, м показать, что ф-ла Пика выполнена для такого треугольника, независимо от значения .

Произвольный треугольник любой такой треугольник м б превращен в прямоугольный прикл к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадо не более 3 таких треугольников). Отсюда м получить корректность ф-лы Пика для любого треугольника.

Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треуг с верш в целочисл т. Для одного треу флу Пика мы уже док. Дальше, м док, что при доб к произв многоуг любого треуг фла Пика сохр свою корр. Отсюда по инд след она верна для люб многоуг.

Формула Пика и решетки. Вывод [1]

Пусть O –– точка на пл=ти («на координат»), и пусть и 2 неколлин вектора

Рассм мн-во всех точек (концов векторов) где p,q целые Это решетка (порожд векторами v и w)

Обозначим площадь «элемент» параллелограмма OACB (где через s.

Предл1. Пусть KLMN –– такой параллелограмм, что верш K, L, M принадл Λ. Тогда N также принадл Λ.

Предл2 Пусть KLMN –– параллелог с верш в точках решетки Λ.
(а) Пл параллел KLMN = ns, где n нат.(б) Если никакая тΛ, за искл K, L, M, N, не лежит внутри параллел KLMN или на его границе, то пл KLMN = s.

Док б) Пусть l –– длина большей из двух диаг KLMN.Замостим пл-ть параллелогр, паралл KLMN. Для параллел π обозн через Kπ его вершину, соотв K при паралл переносе KLMN → π. Тогда π ↔ Kπ б вз однозн соотв меж параллелогр и т решетки Λ. (В самом деле, никакая т решетки Λ не лежит внутри какого-л параллелог или внутри его стороны; след, всякая точка Λ есть Kπ для некот π.) Пусть DR –– круг рад R с ц в O, и пусть N –– число т Λ, распол внутри DR. Обозн эти точки через пусть Объедивсех параллелогр включает и внутри

обозн S пл KLMN тогда То же верно (возм, с д l, но м взять большее из
двух l) для параллелог OACB, ко также не содержит никакой т Λ, отличн от его верш) откуда т к п получаем

Примеры типовых задач на геометрические фигуры на решетках, для ЕГ

Найдём площадь треугольника:

M = 15 (обозначены красным) N = 34 (обозначены синим)

M = 24 (обозн красным) N = 25 (обозн синим)

M = 14 (обозначены красным) N = 43 (обозначены синим)

находить пл трапеции, параллелограмма, треуг проще и быстрее по соотв флам площадей этих фигур. Но м  это делать и так  для многоуг с 5 углов эта формулала работает хорошо.

сто­ро­ны квад­ратных кле­ток равны 1.

ответ: 5

Найдите абсциссу центра окруж, описан около треуг, вершины кот имеют коор (8, 0), (0, 6), (8, 6).

4) Найдите высоту трапеции ABCD, опущен из верш B, если стороны кв клеток равны 

5) Определить градусную меру угла

Имеем правиль 6-уг угол вписанн=полов дуги=60 *0.5 =30

3) На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме клет­ки 1×1 изоб­р тре­уг Най­ди­те ра­ди­ус опи­са около него окруж­н

31. Вот такая интересная фигура встретилась на пробном ЕГЭ в 2014 году одному из учеников:

Можно вычленить полный круг и найти его площадь, но ост еще “рыбий хвост” – этакий сдавл ромб, и как опр его площадь. Этот “хвост” – круг, из кот вырез 8 сегм – см. рис, а пло сегмента – это пл сектора (в нашем сл – четверть круга) - пл треуг (красн). Сч: “тело” рыбы – полный круг. Радиус его 2 клетки, пл тогда  . Пл сект -  , пл треуг – 2. Пл сегмента :  , а 8 сегм -  . П “хвоста”:. Соед “хвост” и “тело”:   Отв: 16

Задачи из сборника В.Прасолова [5] на тему целочисденные решетки

24.1 Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?

24.2^*.Доказать, что при n = 4 правильный n-уг нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались в узлах целочисленной решетки.

24.3^*.Можно ли прямоугольный треугольник с целыми сторонами расположить так, чтобы его вершины лежали в узлах целочисленной решетки, но ни одна из его сторон не проходила по линиям решетки?

24.4^*.Существует ли замкнутая ломаная с нечетным числом звеньев равной длины, все вершины которой лежат в узлах целочисленной решетки?

24.5^*.Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит n узлов решетки, а на границе m узлов. Доказать, что его площадь = n + m/2 – 1 (ф-ла Пика ).

24.6^*.Вершины треугоьника ABC расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его ровно 1 узел O. Док что O – т пересечения медиан треугольника ABC.

4.9^*.Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.

24.10^*.Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n  S – p.

24.11^*.Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

24.12^*.Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

К сожалению эта простая и красивая фла Пика плохо обобщается на высшие размерности.Наглядно показал это Рив (Reeve), предложив в 1957г. рассмотреть тетраэдр (называемый теперь тетраэдомр Рива) со следующими вершинами:

где — любое натуральное число. Тогда этот тетраэдр при любых не содержит внутри ни одной точки с целочи координатами, а на его границе — лежат только 4точки , , , и никакие другие. Таким обр, объём и площадь поверхн этого тетраэдра мб разными, в то время как число точек внутри и на границе — неизменны; следовательно, ф-ла Пика не допускает обобщений даже на трёхмерный случай.

Тем не менее, некое подобие обобщения на пространства большей размерности всё же имеется, — это многочлены Эрхарта но они весьма сложны, и зависят не только от числа точек внутри и на границе фигуры.

Площадь n-угольника с заданными координатами вершин

,где

Пр1. Найти площадь треугольника по координатам вершин A(2,-3), B(1,1), C(-6,5)

Литература

1)Табачников, Фукс. Математический дивертисмент

3) Площади многоугольников, реферат

studbooks.net/2300878/matematika_himiya_fizika/teoreticheskie_osnovy_izucheniya_ploschadey_mnogougolnikov

4) http://решуегэ.рф/test?theme=190

5)Прасолов Задачи по геометрии,

https://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl24s1.htm#Sect-1