В честь окончания учебного года! Скидки до 50% на готовые материалы для учителей на каждый урок

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 23.11.2021 02:27

Каирова Гульмира Каировна

учитель математики

45 лет

838

58 196

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, с. Каякент

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Категория: Математика

22.11.2021 07:11

Наибольший общий делитель — не самая увлекательная тема в алгебре. Но разобраться в ней точно нужно, иначе задачи с дробями будут даваться с трудом. В этой статье узнаем все про вычисление НОД.

О чем эта статья:

Понятие наибольшего общего делителя
Свойства наибольшего общего делителя
Способы нахождения наибольшего общего делителя

Поделиться статьей

АВТОР

Лидия Казанцева
РУБРИКА

5 класс, 6 класс
ДАТА ПУБЛИКАЦИИ

20.11.2020
ПРОСМОТРЫ

86659

Понятие наибольшего общего делителя

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общим делителем будет четверка. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4. Но у этой пары чисел есть и другие общие делители: 1, -1 и -4.

Любое число можно разделить на 1, -1 и на само себя. Значит у любого набора целых чисел будет как минимум три общих делителя. Если общий делитель больше 0 — противоположное ему значение со знаком минус также является общим делителем.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и -16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

Проверить результаты вычислений можно с помощью онлайн-калькулятора НОД и НОК.

Зафиксируем все делители четырех: ±4, ±2, ±1.
А теперь все делители шестнадцати: ±16, ±8, ±4, ±3 и ±1.
Выбираем общие: это -4, -2, -1, 1, 2 и 4. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, -18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, -18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые
Д (28) = 2 * 2 * 7

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ
НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

Разложим числа 84 и 90 на простые множители:
Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:
2 * 3 = 6.

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

Разложим 15 и 28 на простые множители:
Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

Разложим оба числа на простые множители:
Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.
Перемножим общие множители:
НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

Ответ: НОД (24, 18) = 6

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

Большее число поделить на меньшее.
Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.
Первый остаток поделить на второй остаток.
Второй остаток поделить на третий и т. д.
Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

140 : 96 = 1 (остаток 44)
96 : 44 = 2 (остаток 8)
44 : 8 = 5 (остаток 4)
8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.
Найти НОД найденного делителя и третьего числа.
Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Просмотр содержимого документа
«Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное»

Открытый урок

Учителя математики : Ситниковой О.В.

по теме : «НОД и НОК чисел»

Учебник Г.В.Дорофеев , Л.Г.Петерсон «Математика , 5»

Тип урока: комбинированный .

Цели: формировать умение находить НОД и НОК чисел разными способами; находить значение выражений, содержащих степени; повторить и закрепить признаки делимости; простые и составные числа .

Образовательные цели: отработка навыков нахождения НОД и НОК чисел разными способами и выбор наиболее удобного способа; применение полученных знаний для решения задач .

Развивающие цели: развивать познавательный интерес к предмету; наблюдательность, внимание; формировать потребность приобретения знаний .

Воспитательные цели: воспитывать у учащихся культуру труда, взаимоуважение, стремление хорошо учиться.

Задачи: 1) обобщить и систематизировать знания учащихся по теме: «НОД и НОК чисел.»;

2) коррекция мыслительных процессов на основе выполненных упражнений;

3) развивать внимание, память, речь, интерес к математике.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, раздаточный материал.

Ход урока .

Организационный момент .

Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Давайте вспомним, чем мы занимались на предыдущих уроках?

(Мы находили НОД и НОК чисел разными способами и решали задачи )

Постановка задачи: Сегодня мы с вами обобщим все полученные знания по данной теме.

Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «НОД и НОК чисел».

2. Устная работа .

И прежде чем начать решать, давайте вспомним некоторые правила.

Что называется наибольшим общим делителем чисел a и b?

( Наибольшим общим делителем чисел a и b - называется наибольшее натуральное число , которое делит числа a и b без остатка .)

Как найти НОД чисел? (1. разложить на простые множители ; 2. выписать общие множители; 3. перемножить их .)

А если нет общих множителей, чему равен НОД этих чисел?

( 1 ) Как называются эти числа ? ( взаимно – простыми )

Приведите пример взаимно-простых чисел

Что называется наименьшим общим кратным чисел a и b?

( Наименьшим общим делителем чисел a и b - называется наименьшее натуральное число, которое делиться на a и b без остатка.)

Как найти НОК чисел ?

( 1. разложить на простые множители; 2. выписать множители первого числа; 3. добавить недостающие множители из второго числа; 4. найти произведение получившихся множителей )

Мы говорили, что число нужно разложить на простые множители, а какие числа называются простыми? ( простыми называются числа, которые имеют только два делителя : 1 и само число )

Приведите примеры . 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 и т.д.

Какие числа называются составными? ( составными называются числа имеющие более двух делителей )

Приведите примеры . 9 , 25 , 100 и т.д.

А 1 – какое это число? ( ни простое, ни составное ) Почему?

3. Выполнение упражнений.

А теперь перейдем к выполнению упражнений.

( задание записано на доске )

№ 1. Найдите НОД и НОК чисел 8 и 12 методом перебора.

Решение: выпишем делители меньшего числа. Почему меньшего?

Д (8) =  1, 2, 4, 8  проверим являются ли эти числа делителями числа 12 ; проверяем с наибольших делителей .

12 не делится на 8 ; 12 делиться на 4

НОД ( 8 ; 12 ) = 4

Выпишем кратные большего числа. Почему большего ?

К (12) = 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , … Проверим являются ли эти числа кратными 8. Начнем с наименьшего кратного .

12 не делиться на 8 ; 24 делиться на 8

НОК(8;12) = 24

Чему равно произведение НОД и НОК этих чисел ? 4 · 24 = 96

А чему равно произведение чисел a и b ? 8 · 12 = 96

Какой сделаем вывод : НОД(a ; b)·НОК(a ; b) = a · b .

№ 2. Найдите НОД и НОК чисел 252 и 264 методом разложения на простые множители .

Решение :

2 52 2 264 2 Признак делимости на 2 .

126 2 132 2 Признак делимости на 3.

63 3 66 2

21 3 33 3

7 7 11 11

1 1

252 = 2²·3²·7 264= 2³·3·11

НОД(252 ; 264) = 2²·3 = 12 С какими показателями мы берем степени ? с наименьшими .

НОК(252;264) = 2³·3²·7·11= 5544 С какими показателями мы берем степени ? с наибольшими .

4. Выполнение упражнений с самопроверкой по эталону .

Задание: Найдите НОД и НОК чисел наиболее удобным способом :

а) 12 и 40 ; б) 9 и 40 ; в) 12 и 72 .

На задание дается 5 мин?

Каким способом удобнее решать каждое упражнение?

Разбор по слайду .

а) Удобнее решать методом разложения на простые множители

12 = 2·2·3 ; 40 = 2·2·2·5

НОД(12;40)=2·2=4 ; НОК(12;40) = 2·2·2·3·5 = 120

б) есть ли общие делители у чисел 9 и 40 ? ( есть , 1.)

Как называются эти числа? ( взаимно простые .)

Чему равен НОД этих чисел? ( НОД(9;40) = 1)

Чему равен НОК этих чисел? ( НОК(9;40) = 9· 40=360.)

в) Что вы можете сказать о числах 12 и 72 ? ( 72 делиться на 12 ) Какое правило мы знаем? ( если одно число делится на другое , то НОД = наименьшему числу , а НОК - наибольшему )

НОД(12;72) = 12 ; НОК(12;72) = 72

Сверьте данные, которые у вас получились , с эталоном на вашем столе .

5 . Выполнение упражнения.

Задание: Выбрать истиные высказывания:

НОД ( 13, 39 ) = 39
16 – кратное 3
НОК ( 9,18) = 18
5 – кратное числа 6
7 – делитель числа 14
НОД (2; 15) = 1
Каждое число имеет делитель 1
НОК (2;3) = 6

Из предложенных верных ответов составить наибольшее натуральное число, кратное числу 5.

Ответ: верные 3,5,6,7,8. Наибольшее натуральное число, кратное 5 -

87635.

6. Физкультминутка

Поднимите руки класс – это «раз»

Повернулась голова – это «два»

Руки вниз, вперёд смотри – это «три»

Руки в стороны пошире развернули на «четыре»

Ссилой их к плечам прижать – это «пять»

Всем ребятам надо сесть – это «шесть»

7. Решение задач .

Где мы уже используем наши знания НОДа и НОКа чисел?

При решении задач .

У учащихся на столе раздаточный материал с задачами.

Задача № 1

Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки . Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок получил каждый?

( необходимо найти НОД чисел 123 и 82

123 = 3· 41 ; 82= 2· 41 НОД(123 ; 82) = 41

Ответ : 41 ребят, по 3 апельсина и 2 яблока .)

Ребята, скоро новый год. Вы все хотели бы получить к празднику хорошие

подарки ?

А для того чтобы получить хорошие подарки, вы должны порадовать Деда Мороза и родителей своими знаниями и отличными оценками.

Задача №2

Из речного порта одновременно 1 мая 1999 года вышли два теплохода . Продолжительность рейса одного из них – 15 суток, а продолжительность рейса второго – 24 суток. Через сколько дней теплоходы снова одновременно отправятся в рейс? Сколько рейсов за это время сделает первый теплоход? А сколько второй?

Необходимо найти НОК чисел 15 и 24.

1) 15 = 3·5 ; 24 = 2· 2· 2· 3

НОК(15;24) = 2·2·2·3·5=120

2)120 : 15 = 8 (р) первый;

3)120 : 24=5(р) второй

Ответ : через 120 дней , первый сделает 8 рейсов , а второй – 5 рейсов .

Задача №3.

Расшифруйте название птицы, которая видит все, что происходит вокруг нее, даже не поворачивая головы.

Для этого найдите наименьшее общее кратное каждой пары чисел , затем впишите букву , соответствующую этому числу , в таблицу .

1) НОК(3,12) = 12 л 5) НОК(9;15) = 45 н

2) НОК(4;5;8)= ___40 е 6) НОК(12;10)= 60 п

3) НОК(8;12)= 24 в 7) НОК(9;6) = 18 ь

4) НОК(16;12)= 48 д 8) НОК(10;20)= 20 ш

Свободный столбик в таблице заполните, учитывая данные:

НОК(25;4) = 100 а

24		12	18	48	20	45	40	60
в	а	л	ь	д	ш	н	е	п

8. Самостоятельная работа.

А теперь давайте проверим ваши знания с помощью самостоятельной работы. Возьмите на столе карточку и все записи делаем в ней.

Вариант 1. Вариант 2 .

Найдите НОД и НОК чисел наиболее удобным способом .

а) 12 и 18 ; а) 10 и 15 ;

б) 13 и 39 ; б) 19 и 57 ;

в) 11 и 15 ; в) 7 и 12 .

Решение :

Вариант1.

а) 12 =2·2·3 ; 18=2·3·3 ; НОД=6 НОК=36

б) т.к. 3 9 делится на 13 НОД = 13 НОК=39

в) 11 и 15 взаимно простые НОД=1 , НОК = 11 ·15 = 165

Вариант 2.

а) 10 = 2·5 ; 15 = 3·5 НОД =5 , НОК =30

б) т.к. 57 делится на 19 НОД=19 , НОК=57

в) 7 и 12 взаимно простые НОД = 1 , НОК=7·12=84

9. Подведение итогов урока.

Сегодня мы повторили почти все правила по теме «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное» и готовы написать контрольную работу. Надеюсь, вы с ней справитесь хорошо .

За урок получили оценки :

10. Домашнее задание .

Откройте дневники и запишите домашнее задание.

Повторить правила, выполнить № 801, № 802, № 803, № 807.

11. Заполнение карточки рефлексии .

А теперь заполните карточки рефлексии.

Карточка для этапа рефлексии.

Тема	Знаю	Умею
Нахождение НОД методом перебора
Нахождение НОК методом перебора
Разложение на простые множители
Нахождение НОД методом разложения на простые множители
Нахождение НОК методом разложения на простые множители

Карточка для этапа рефлексии.

Тема	Знаю	Умею
Нахождение НОД методом перебора
Нахождение НОК методом перебора
Разложение на простые множители
Нахождение НОД методом разложения на простые множители
Нахождение НОК методом разложения на простые множители

Карточка для этапа рефлексии.

Тема	Знаю	Умею
Нахождение НОД методом перебора
Нахождение НОК методом перебора
Разложение на простые множители
Нахождение НОД методом разложения на простые множители
Нахождение НОК методом разложения на простые множители

Карточка для этапа рефлексии.

Тема	Знаю	Умею
Нахождение НОД методом перебора
Нахождение НОК методом перебора
Разложение на простые множители
Нахождение НОД методом разложения на простые множители
Нахождение НОК методом разложения на простые множители

Эталон для самопроверки .

а) НОД(12 ;40)

1 2 2 40 2 1) Разложить числа на простые

6 2 20 2 множители.

3 3 10 2 2) Воспользоваться признаками

1 5 5 делимости на 2 , на 3 и на 5 .

12 = 2 · 2 · 3 ; 40 = 2 · 2 · 2 · 5

2 · 2 3) Выписать произведение

общих множителей.

НОД(12;40) = 4 4) Вычислить выписанное

произведение.

НОК (12;40)

2 · 2 · 3 · 2 · 5 5) Выписать множители

одного из чисел.

6) Домножить на недостающие

множители из разложения другого .

НОК(12;40)=120 7) Найти полученное

произведение.

б) Числа 9 и 40 взаимно простые .

НОД(9;40) = 1.

Чтобы найти их НОК надо их перемножить .

НОК(9;40 )= 9 · 40 = 360.

в) Так как 72 делиться на 12 , то

НОД(12;72)=12 ; НОК(12;72) = 72 .

Задача № 1.

Р ебята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке ? Сколько апельсинов и сколько яблок получил каждый ?

Задача № 2.

Из речного порта одновременно 1 мая 2011 года вышли два теплохода. Продолжительность рейса одного из них – 15 суток , а продолжительность рейса второго – 24 суток. Через сколько дней теплоходы снова одновременно отправятся в рейс ? Сколько рейсов за это время сделает первый теплоход ? А сколько второй ?