Смотрите запись вебинара для учителей о современных инструментах, повышающих эффективность обучения в классе и дистанционно

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 21.05.2024 16:24

Кутубарова Акзайда Темерхановна

учитель математики

8 лет

368

104 139

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, оренбург

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Научно - исследовательская работа "Признаки делимости натуральных чисел"

Категория: Математика

17.02.2020 19:19

Учебник: Математика. 6 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. 14-е изд., стер. - М.: 2014. - 264 с.

Тема: § 28. Признаки делимости на 2, 5, 10, 4 и 25

Просмотр содержимого документа
«Научно - исследовательская работа "Признаки делимости натуральных чисел"»

Школьная научно-практическая конференция

«Возрождение Отечества»

Научно – исследовательская работа

Секция: математика

Тема: « Признаки делимости натуральных чисел»

Автор работы: Алексеева Дарина

Класс 6 МОАУ «СОШ № 70»

Учитель: Кутубарова Акзайда Темерхановна,

учитель математики

высшая квалификационная категория

Оренбург, 2020

Содержание

Введение

1.1. Актуальность темы………………………………………………………….......2

1.2. Цели и задачи исследований……………………………………………….…3

Признаки делимости натуральных чисел

2.1. История возникновения признаков делимости……………………................ 3

2.2. Признаки делимости натуральных чисел……………………………………..4

2.2.1. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе................4

2.2.2. Признаки делимости натуральных чисел, полученные самостоятельно…5

2.2.3. Признаки делимости натуральных чисел из разных источников …..….6

2.2.4.Задачи на применение признаков делимости …………………………….....8

Заключение…………………………………………………………………9

Список литературы и источников.……………………………………….. 10

Введение

1.1. Актуальность темы

При изучении на уроках математики темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

Изученные признаки недостаточны для решения олимпиадных задач, примеров на уроках математики, чтобы развивать вычислительные навыки. Мне, как ученице 6 класса, интересны задания, где требуется быстрый счет, которые помогает развивать вычислительные навыки, необходимые для решения задания на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Для этого надо знать признаки делимости чисел на простые и составные числа и уметь применять их для решения различных задач. Мне стало интересно, какие еще есть признаки деления натуральных чисел и можно ли ещё самой получить новые признаки делимости? Именно поэтому для исследовательской работы мной выбрана тема «Признаки делимости натуральных чисел».

1.2. Цель исследовательской работы – найти и систематизировать признаки делимости, позволяющие решить задачи, не прибегая к громоздким расчетам и вычислениям.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) Самостоятельно исследовать делимость чисел.

2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

3) Объединить и обобщить признаки из разных источников.

4) Сделать вывод.

Гипотеза: Мы предполагаем, что если можно определить делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость и на другие числа.

В результате изучения различной литературы, наша гипотеза была подтверждена.

Предмет исследования: Признаки делимости.

Методы исследования:

Изучение литературы и электронных источников.
Систематизация и обобщение полученной информации.
Применение изученной теории при решении проблемных задач.

Работа имеет практическое применение. Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к контрольным работам, а в будущем при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах, конкурсах, турнирах.

Признаки делимости натуральных чисел
1. История возникновения признаков делимости

Делимость натуральных чисел, простые и составные числа, взаимно простые числа, делители и кратные, разложение чисел на простые множители интересовали великих математиков еще с древних времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры.

Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).

В III веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен открыл способ составления списка простых чисел, так как считал, что простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Его метод составления списка простых чисел назвали решетом Эратосфена.

Вопросы делимости чисел рассматривались учениками Пифагора.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль, один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль родился 19 июня 1623 в Клермон-Ферран, в семье высокообразованного юриста. Отец Паскаля имел хорошее образование и решил самостоятельно заниматься образованием мальчика. Блез рос одарённым ребёнком и рано проявил выдающиеся математические способности. Его отец старался обучить мальчика древним языкам, настаивая, чтобы тот не отвлекался на разного рода пустяки. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции. Однако тут же запретил ему всякие исследования в этой области. Но запретный плод сладок, и Блез, закрывшись в своей спальне, принялся углем выводить на полу различные фигуры и изучать их. Когда отец случайно застал его за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясен: не знавший даже названий фигур, мальчик доказывал их свойства. Так постепенно раскрывался гений Блеза Паскаля.

Паскаль нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел".

Признаки делимости натуральных чисел

Делимость - способность одного числа делиться на другое. Свойства делимости зависят от того, какие множества чисел рассматривают. Если рассматривают только целые положительные (натуральные) числа, то говорят, что одно число делится на другое (является кратным другого), если частное от деления первого числа на второе будет также целым числом.

Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

Представим признаки делимости в виде таблицы:

Число делится на:	Если:	Пример
2	оно оканчивается чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8.	36 оканчивается чётной цифрой 6
5	оно оканчивается цифрой 0 или 5.	135 оканчивается цифрой 5
10	оно оканчивается цифрой 0.	1350 оканчивается цифрой 0
3	сумма цифр этого числа делится на3.	225 делится на 3, т.к. сумма цифр 2+2+5= 9, делится на3.
9	сумма цифр этого числа делится на 9.	351 делится на 9, т.к. сумма цифр 3+5+1 = 9, делится на9.
4	две последние цифры этого числа образуют число, делящееся на 4.	3164; две последние цифры составляют число 64, оно делится на 4; число 3164 делится на 4.
25	оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.	7325 оканчивается на25

2.2.2. Признаки делимости натуральных чисел, полученные самостоятельно.

Проанализировав представленные выше признаки делимости и используя их за основу, можно сформулировать следующие признаки делимости:

Число делится на:	Если:	Пример
6	Число делится на 6 тогда, если оно делится и на 2, и на 3	20148 делится на 6 (число чётное и 2+0+1+4+8=15)
8	Натуральное число делится на 8, если три его последние цифры нули, или образуют число, делящееся на 8.	21808 делится на 8 (808:8=101)
12	Натуральное число делится на 12, если оно делится на 3 и 4 одновременно.	15 743 400 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.
15	Натуральное число делится на 15 ,если оно делится на 3 и на 5 одновременно, т.е. оканчивается нулем или пятеркой и сумма его цифр делится на 3.	15 743 400 - делится на 3 и 4, а значит и на 12.
16	Натуральное число делится на 16 ,если оно делится на 2 и полученное частное делится на 8.	4096 делится на 16, т.к. 4096: 2=2048 и 2048: 8 (три его последние цифры нули, или образуют число, делящееся на 8)
18	Натуральное число делится на 18, если оно делится на 2 и 9 одновременно.	22410 делится на 9 (число чётное и 2+2+4+1+0=9)
20	Натуральное число делится на 20, если оно оканчивается цифрой 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.	32456780 делится на 20 (80:20=4)
30	Натуральное число делится на 30,если оно делится на 3 и на 10 одновременно, т.е. оканчивается нулем и сумма его цифр делится на 3.	1 046 790 делится на 30, т.к. 1+0+4+6+7+9+0=27, кратное 3.

2.3. Признаки делимости натуральных чисел из разных источников.

Признаки делимости на натуральные числа, полученные в ходе изучения различных источников:

Число делится на:	Если:	Пример
7	Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7	(например, 343 делится на 7, так как 34-(2·3)=34-6=28 делится на 7; 259 делится на 7, так как 25-(2·9)=7 делится на 7).
11	Число делится на 11 тогда, когда сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11	(например, 14641 делится на 11, так как 1+6+1=4+4)
13	Число делится на 13 если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.	314288 делится на 13, так как 314 – 288 = 26, 975 делится на 13, так как 97 – 9 · 5 = 52, а 52 делится на 13
14	Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.	34692 делится на 14
17	Число делится на 17 если модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.	221 делится на 17 (\|22-1·5\|=17 делится на 17); 453 не делится на 17 (\|45-31\|=40 не делится на 17).*
19	Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.	133 делится на 19 (13+3·2=19 делится на19)

И так я исследовала признаки делимости натуральных чисел с 2 до 20.

Таким образом, все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.

2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).

3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.

4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

2.2.4. Задачи на применение признаков делимости.

Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и олимпиадных задач, при решении заданий ОГЭ и ЕГЭ.

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Решение.

3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.

Задача № 2

Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?

Решение.

Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 3.

Задачи на признаки делимости из ЕГЭ по математике (базовый уровень)

Вычеркните в числе 35242345 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно число.

Заключение.

Для осуществления цели и задач исследовательской работы мною изучено много различной математической литературы. Я провела эксперименты, которые подтвердили доступность материала о признаках делимости, важность его изучения. В своей работе систематизировала материал, объединив в группы по схожести правил, исследовала возможности использования признаков делимости при решении практических задач, предлагаемых на ЕГЭ, и олимпиадных задач.

Выводы:

Работая над темой исследования, я значительно расширила свои знания по математике. Кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 4, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19,20
Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации, они помогут мне подготовиться к участию в конкурсах и олимпиадах по математике.

Научная новизна работы заключается в подборе материала по теме, не изучаемой в школьном курсе математики.

Данная исследовательская работа дала мне возможность развивать логическое мышление, совершенствовать навыки работы с научно-популярной литературой и совершенствовать свои умения использования компьютерных программ.

Список использованной литературы (источников):

Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел для математических школ http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alfutova.pdf
Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений, 2015 г.
Выгодский И.К. Справочник по элементарной математике. – М: Просвещение, 1998. http://www.itam.nsc.ru/users/libr/eLib/Books/15/0394.Vigodskii-Sprav_po_Element_Matematike.pdf
Перельман Я.И. Занимательная Алгебра, - М.: Триада-Литера, 1994.-199с
Учебно-методический комплекс «Математика. Подготовка к ЕГЭ» под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова.
Цекунов В. Просто о признаках делимости. https://sites.google.com/site/viktortsekunov/popularly/delimost
Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989.- 352 с.
Интернет-ресурсы: