Некоторые методы решения сложных задач на колебания математического маятника.

4

Некоторые методы решения сложных задач на колебания математического маятника.

Последние годы абитуриенты России всё чаще и чаще сталкиваются с задачами на различные колебательные процессы. Часть из них позволяют при решении использовать модель математического маятника.

Анализируя множество сводящихся к колебаниям математического маятника задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в ведущие технические ВУЗы страны, а также на физических олимпиадах, я пришёл к выводу, что все они сводятся к конечному набору простых проблем, довольно быстро решаемых стандартным набором методов.

Разбиение сложных задач на ряд простых, а также методика решения последних успешно применялись мною в одиннадцатых классах, на протяжении нескольких последних лет. Именно практическое апробирование позволяет мне предложить данные методы для широкого использования в практике.

Задача.

Определите период малых колебаний маятника, представляющего собой шарик массы m, шарнирно укреплённый с помощью лёгкого равностороннего треугольника со стороной L на бруске массой M, который скатывается, двигаясь поступательно, по наклонной плоскости с углом у основания . Коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью . Центр масс бруска движется в плоскости колебаний.

Решение задачи можно разбить на несколько этапов, превратив каждый из них в отдельную задачу.

1. Определите период малых колебаний шарика массой m, шарнирно укреплённого с помощью лёгкого равностороннего треугольника со стороной L к неподвижному потолку.

Очевидно, что колебания этого шарика возможны в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка.

Вид с боку выглядит так:

Так как треугольник практически невесом, то конструкция является моделью математического маятника, период колебаний которого, как известно, вычисляется по формуле T= 2 ,где l -длина математического маятника. В данном случае за длину маятника надо принять длину отрезка, соединяющего шарик с потолком на рисунке 3. Этот отрезок является высотой и медианой треугольника, т. е. обозначив его длину за l и, назвав приведённой длиной маятника, мы получаем, что . Тогда период колебаний .

1. Определите период малых колебаний маятника, состоящего из шарика массы m, закреплённого с помощью лёгкого стержня длины l на бруске массы M, способного без трения двигаться по горизонтальной поверхности.

Упростим систему, перенеся брусок в верхнюю точку стержня.

Получим рисунок 5.

Данная система будет совершать колебания с той же частотой и амплитудой, что и показанная на рисунке 4. Масса M будет двигаться горизонтально, а m совершать колебания в плоскости рисунка.

Очевидно, что тела системы совершают колебания относительно центра масс, вертикальные колебания которого незначительны, поэтому шарик m, будет двигаться как материальная точка маятника. Однако за счёт жёсткой связи брусок M будет совершать колебания с тем же периодом, что и шарик m.

Итак, пусть l*- расстояние от m до центра масс, т. е. это приведённая длина математического маятника. Тогда . l^*найден из известных формул определения центра масс: откуда.

Период колебаний будет равен: .

1. Найдите период колебаний математического маятника длины l и массы m, если точка его подвеса движется под углом к горизонту с ускорением a.

Для начала преобразуем формулу периода в вид, помогающий легко решить данную задачу. g - это ускорение свободного падения, которое можно найти как .Но сила тяжести, действующая на материальною точку маятника, численно равна силе натяжения нити F_H в положении, когда маятник покоится, поэтому: . Тогда .

Теперь наша задача сводится к нахождению силы натяжения нити в положении равновесия.

Рассмотрим положение равновесия маятника, описанного в задаче.

Нить находится под углом  к вертикали. Перейдём в систему отчёта, связанную с точкой подвеса. Тогда на материальною точку маятника действуют: сила тяжести, сила натяжения нити и сила инерции, направленная в сторону, противоположенную ускорению : . Равнодействующая сил и равна - .

Найдя R, мы найдём F_H.

Угол между и равен 90+. Тогда, используя теорему косинусов, получим

И период маятника: =2

4) Теперь вернёмся к задаче, сформулированной в самом начале.

Система будет двигаться вниз по наклонной плоскости с ускорением, которое находится по второму закону Ньютона: a=g(Sin -μCosα).

В случае возникновения колебаний системы период вычислим по формуле: (*)Т=2 , где l* определяется из решения задач 1) и 2), а F_H из задачи 3). Подставляя полученные данные в формулу (*), получаем:

И после преобразований:

.

В заключении хочется отметить, что сложные, «неподъёмные» на первый взгляд задачи из других курсов физики поддаются решению с помощью предложенной методики, которая легко осваивается выпускниками за 2-3 урока и находит широкое применение на практике.