Одночлены. Сложение и вычитание, умножение и деление одночленов.

Одночлены

Предварительные навыки

• Буквенные выражения

• Степень с натуральным показателем

Содержание урока

• Определения и примеры

• Приведение одночлена к стандартному виду

• Сложение и вычитание одночленов

• Умножение одночленов

• Деление одночленов

• Возведение одночлена в степень

• Разложение одночлена на множители

• Задания для самостоятельного решения

Определения и примеры

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Например, выражения 5a, 3ab² и −6²aa²b³ являются одночленами.

Приведём ещё примеры одночленов:

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 5² является одночленом.

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Итак, приведём одночлен 3a²5a³b² к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:

15

Далее в одночлене 3a²5a³b² содержатся степени a² и a³, которые имеют одинаковое основание a. Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a² и a³ даст в результате a⁵. Записываем a⁵ рядом с числом 15

15a⁵

Далее в одночлене 3a²5a³b² содержится степень b². Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:

15a⁵b²

Мы привели одночлен 3a²5a³b² к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a⁵b²

3a²5a³b² = 15a⁵b²

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

abc = 1 × abc

А коэффициентом одночлена −abc будет −1, поскольку −abc это произведение минус единицы и abc

−abc = −1 × abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Например, степенью одночлена 15a⁵b² является 7. Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.

Ещё пример. Степенью одночлена 7ab² является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya² к стандартному виду

Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:

15

Далее в одночлене 5xx3ya² содержатся переменные x и x. Перемножим их, получим x².

15x²

Далее в одночлене 5xx3ya² содержится переменная y, которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:

15x²y

Далее в одночлене 5xx3ya² содержится степень a², которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:

15x²ya²

Получили одночлен 15x²ya², который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x²ya² примет вид 15a²x²y.

Поэтому, 5xx3ya² = 15a²x²y.

Пример 2. Привести одночлен 2m³n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

2m³n × 0,4mn = 2 × 0,4 × m³ × m × n × n = 0,8m⁴n²

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m³ × m и n × n

2m³n × 0,4mn = (2 × 0,4) × (m³ × m) × (n × n) = 0,8m⁴n²

Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:

2m³n × 0,4mn = 0,8m⁴n²

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.

Сложение и вычитание одночленов

Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 6a²b и 2a²b

6a²b + 2a²b

Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a²b оставим без изменений

6a²b + 2a²b = 8a²b

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a²b³ одночлен 2a²b³

5a²b³ − 2a²b³

Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:

5a²b³ − 2a²b³ = 5a²b³ + (−2a²b³) = 3a²b³

Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:

5a²b³ − 2a²b³ = 3a²b³

Умножение одночленов

Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

5x × 8y = (5 × 8) × (x × y) = 40xy

Пример 2. Перемножить одночлены 5x²y³ и 7x³y²c

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

5x²y³ × 7x³y²c = (5 × 7) × (x²x³) × (y³y²) × c = 35x⁵y⁵c

Пример 3. Перемножить одночлены −5a²bc и 2a²b⁴

−5a²bc × 2a²b⁴ = (−5 × 2) × (a²a²) × (bb⁴) × c = −10a⁴b⁵c

Пример 4. Перемножить одночлены x²y⁵ и (−6xy²)

x²y⁵ × (−6xy²) = −6 × (x²x) × (y⁵y²) = −6x³y⁷

Пример 5. Найти значение выражения 

Деление одночленов

Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Например, разделим одночлен 8a²b² на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:

Первый одночлен 8a²b² будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.

Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2. В исходном выражении ставим знак равенства и записываем этот коэффициент частного:

Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится a², в делителе — просто a. Делим a² на a, получаем a, поскольку a² : a = a^2 − 1 = a. Записываем в частном a после 2

Далее в делимом содержится b², в делителе — просто b. Делим b² на b, получаем b, поскольку b² : b = b^2 − 1 = b. Записываем в частном b после a

Значит, при делении одночлена 8a²b² на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Сразу можно выполнить проверку. При умножении частного на делитель должно получаться делимое. В нашем случае, если 2ab умножить на 4ab, должно получиться 8a²b²

2ab × 4ab = (2 × 4) × (aa) × (bb) = 8a²b²

Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.

К примеру, одночлен 6xy² нельзя разделить на одночлен 3xyz. В делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy².

Проще говоря, мы не сможем найти частное, которое при умножении на делитель 3xyz дало бы делимое 6xy², поскольку такое умножение обязательно будет содержать переменную z, которой нет в 6xy².

Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x²y²z на 2xy, получается 2xyz. Сначала разделили 4 на 2 получили 2, затем x² разделили на x, получили x, затем y² разделили на y, получили y. Затем приступили к делению переменной z на такую же переменную в делителе, но обнаружили, что такой переменной в делителе нет. Поэтому перенесли переменную z в частное без изменений:

Для проверки умножим частное 2xyz на делитель 2xy. В результате должен получиться одночлен 4x²y²z

2xyz × 2xy = (2 × 2) × (xx) × (yy) × z = 4x²y²z

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

Так, в предыдущем примере нельзя было разделить одночлен 6xy² на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy. Напомним, что сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число (в нашем случае на одночлен 3xy). В результате сокращения дробь становится проще, но её значение не меняется:

В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:

Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:

Пример 2. Разделить одночлен 12a²b³c³ на одночлен 4a²bc

Пример 3. Разделить одночлен x²y³z на одночлен xy²

Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x² нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x², входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x² даст в результате делимое 2x.

Конечно, мы можем выполнить деление x на x², воспользовавшись свойством степени с целым показателем:

и такое частное при перемножении с делителем x² будет давать в результате делимое 2x

Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное   целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.

Возведение одночлена в степень

Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.

Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.

Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена

(xy)² = x²y²

Пример 2. Возвести одночлен −5a³b во вторую степень.

(−5a³b)² = (−5)² × (a³)² × b² = 25a⁶b²

Пример 3. Возвести одночлен −a²bc³ в пятую степень.

В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:

(−a²bc³)⁵ = (−1)⁵ × (a²)⁵ × b⁵ × (c³)⁵ = −1a¹⁰b⁵c¹⁵ = −a¹⁰b⁵c¹⁵

Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные сомножители одночлена. В приведенном примере сначала получился одночлен −1a¹⁰b⁵c¹⁵, затем он был заменён на тождественно равный ему одночлен −a¹⁰b⁵c¹⁵.

Пример 4. Представить одночлен 4x² в виде одночлена, возведённого в квадрат.

В данном примере нужно найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 4x². Очевидно, что это произведение 2x. Если это произведение возвести во вторую степень (в квадрат), то получится 4x²

(2x)² = 2²x² = 4x²

Значит, 4x² = (2x)². Выражение (2x)² это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Пример 5. Представить одночлен 121a⁶ в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Попробуем найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 121a⁶.

Прежде всего заметим, что число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат. То есть первый сомножитель будущего произведения мы нашли. А степень a⁶ получается в том случае, если возвести в квадрат степень a³. Значит вторым сомножителем будущего произведения будет a³.

Таким образом, если произведение 11a³ возвести во вторую степень, то получится  121a⁶

(11a³)² = 11² × (a³)² = 121a⁶

Значит, 121a⁶ = (11a³)². Выражение (11a³)² это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 1. Разложить одночлен 3a³b² на множители

Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b

3a³b² = 3aaabb

Либо степень b² можно не раскладывать на множители b и b

3a³b² = 3aaab²

Либо степень b² разложить на множители b и b, а степень a³ оставить без изменений

3a³b² = 3a³bb

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a²b³c⁴ на множители.

Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a² разложим на множители aa, степень b³ — на множители bbb, степень c⁴ — на множители cccc

10a²b³c⁴  = 2 × 5 × aabbbcccc

Задание 1. Приведите одночлен −2aba к стандартному виду.

Решение:

−2aba = −2a²b

Задание 2. Приведите одночлен 0,5m × 2n к стандартному виду.

Решение:

0,5m × 2n = (0,5 × 2)(mn) = 1mn = mn

Задание 3. Приведите одночлен −8ab(−2,5)b² к стандартному виду.

Решение:

−8ab(−2,5)b² = −8 × (−2,5) × a × (b × b²) = 20ab³

Задание 4. Приведите одночлен 0,15pq × 4pq² к стандартному виду.

Решение:

Задание 5. Приведите одночлен −2x³ × 0,5xy² к стандартному виду.

Решение:

Задание 6. Приведите одночлен 2m³n × 0,4mn к стандартному виду.

Решение:

Задание 7. Приведите одночлен   к стандартному виду.

Решение:

Задание 8. Приведите одночлен   к стандартному виду.

Решение:

Задание 9. Перемножьте одночлены 2x и 2y

Решение:

2x × 2y = 4xy

Задание 10. Перемножьте одночлены 6x, 5x и y

Решение:

6x × 5x × y = 30x²y

Задание 11. Перемножьте одночлены 2x², 2x³ и y²

Решение:

2x² × 2x³ × y² = (2 × 2) × (x²x³) × y² = 4x⁵y²

Задание 12. Перемножьте одночлены −8x и 5x³

Решение:

−8x × 5x³ = (−8 × 5)×(xx³) = −40x⁴

Задание 13. Перемножьте одночлены x²y⁵ и (−6xy²)

Решение:

x²y⁵ × (−6xy²) = −6 × (x²x) × (y⁵y²) = −6x³y⁷

Задание 14. Выполните умножение:

Решение:

Задание 15. Выполните умножение:

Решение:

Задание 16. Возведите одночлен x²y²z² в третью степень

Решение:

(x²y²z²)³ = (x²)³ × (y²)³ × (z²)³ = x⁶y⁶z⁶

Задание 17. Возведите одночлен xy²z³ в пятую степень.

Решение:

(xy²z³)⁵ = x⁵ × (y²)⁵ × (z³)⁵ = x⁵y¹⁰z¹⁵

Задание 18. Возведите одночлен 4x во вторую степень.

Решение:

(4x)² = 4² × x² = 16x²

Задание 19. Возведите одночлен 2y³ в третью степень.

Решение:

(2y³)³ = 2³ × (y³)³ = 8y⁹

Задание 20. Возведите одночлен −0,6x³y² в третью степень.

Решение:

(−0,6x³y²)³ = (−0,6)³ × (x³)³ × (y²)³= −0,216x⁹y⁶

Задание 21. Возведите одночлен −x²yz³ в пятую степень.

Решение:

(−x²yz³)⁵ = (−x²)⁵ × y⁵ × (z³)⁵= −x¹⁰y⁵z¹⁵

Задание 22. Возведите одночлен −x³y²z во вторую степень.

Решение:

(−x³y²z)² = (−x³)² × (y²)² × z² = x⁶y⁴z²

Задание 23. Представьте одночлен −27x⁶y⁹ в виде одночлена, возведённого в куб.

Решение:

−27x⁶y⁹ = (−3x²y³)³

Задание 24. Представьте одночлен −a³b⁶ в виде одночлена, возведённого в куб.

Решение:

−a³b⁶ = (−ab²)³

Задание 25. Выполните деление 

Решение:

Задание 26. Выполните деление 

Решение:

Задание 27. Выполните деление 

Решение:

Задание 28. Выполните деление 

Решение:

Задание 29. Выполните деление 

Решение:

Задание 30. Выполните деление 

Решение: