Олимпиада по математике для 11 класса

Олимпиада по математике 11 класс

1. Решите систему уравнений

Решение:

Пусть

Ответ: (3; 0,6), (-4; 4,8).

1. Шесть мальчиков и четыре девочки организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью- 1 очко, за проигрыш- 0 очков. Девочки вместе набрали 40 очков. Кто выиграл больше очков: мальчики у девочек или девочки у мальчиков, и на сколько?

Решение: Участников турнира было 6+4=10. Они сыграли (10*9):2=45 партий и набрали вместе 45*2=90 очков (независимо от исходов отдельных партий). По условию задачи девочки набрали 40 очков, тогда мальчики набрали 90-40=50 очков. Чтобы ответить на вопрос задачи, рассмотрим «турнир в турнире» - игры девочек между собой. В них сыграно (4*3):2=6 партий и набрано 2*6=12 очков. Тогда девочки выиграли у мальчиков 40-12=28 очков. Аналогично мальчики в играх между собой набрали 30 очков. Они выиграли у девочек 50-30=20 очков. Итак, девочки выиграли у мальчиков на 28-20=8 очков больше, чем мальчики у девочек.

3. Механические часы показывают время 7 часов 20 минут. Найдите угол между часовой и минутной стрелкой.

Ответ. 100 градусов.

Решение .

За 1 час минутная стрелка проходит полный круг 360 градусов, а часовая - в 12 раз меньше, т.е. 30градусов. Поэтому в 7 часов минутная стрелка повернется 20/60*360=120градусов, а часовая на угол, в 12 раз меньше, т.е. 10градусов. Следовательно, в 7часов 20 минут угол между стрелками будет равен

210+19-120=100градусов.