Основное тригонометрическое тождество. формулы приведения. формулы для вычисления координат точки

Проверила замдиректора по УВР С.В.Товзуралиева
24.11.20 г.

Г – 9 основное тригонометрическое тождество. формулы приведения.
формулы для вычисления координат точки

Цели:

Образовательные: сформировать умения вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; научить выражать одну тригонометрическую функцию через другую;
Развивающие: развитие аналитического и синтезирующего мышления, умений применять знания на практике, аккуратности, точности выполнения действий, самостоятельности;
Воспитательные: воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, дисциплинированности.

Ожидаемые результаты
На уроке мы узнаем, что такое основное тригонометрическое тождество, научимся находить синус, косинус, тангенс и котангенс угла, зная только одно из этих значений; познакомимся с формулами приведения, сможем найти синус, косинус, тангенс и котангенс углов 120°, 135°, 150°; узнаем, как найти координаты точки, зная расстояние от неё до начала координат и угол между положительной полуосью Ох и лучом, исходящим из начала координат и проходящим через данную точку.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Постановка целей и задач урока. Актуализация знаний.

Решение теста (фронтальный опрос) на закрепление и повторение предыдущего материала.
Вопросы теста:

1. Ч то изображено на рисунке?

Варианты ответа: а) система координат; б) единичная окружность; в) окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1.

Р асставьте соответствия.

s in α=

cos α=

tg α=

ctg α=

1. Какой четверти принадлежит угол α, если: α=590°. Варианты: а) I; б) II; в) III; г) IV;

2. Какой четверти принадлежит угол α, если: α= -410°. Варианты: а) I; б) II; в) III; г) IV;

II. Изучение нового материала.

Целью нашей сегодняшней работы является научиться вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них; выражать одну тригонометрическую функцию через другую

На координатной плоскости изобразим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Эта окружность задаётся следующим уравнением: x² + y² = 1
Рассмотрим часть этой окружности – полуокружность, расположенную в первой и второй четвертях. Координаты любой точки этой полуокружности должны удовлетворять уравнению данной окружности.

Координаты точки М – это значения косинуса и синуса угла α, который соответствует этой точке.

x = cos⁡α, y = sin⁡α
Подставив в формулу окружности выражения для x и y получим следующее равенство: cos² α + sin² α = 1 (0° ≤ α ≤ 180°).
Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством и выполняется для любого угла от нуля градусов до ста восьмидесяти градусов.
В математике существуют формулы, которые позволяют упростить вычисления синусов и косинусов углов. Эти формулы называются формулами приведения:
Если 0° ≤ α ≤ 90°, то sin⁡(90° - α) = cos⁡α, cos(90° - α) = sin⁡α.
Если 0° ≤ α ≤ 180°, то sin⁡(180° - α) = sin⁡α? cos(180° - α) = -cos⁡α
Вычислим с помощью формул приведения значения синуса угла, равного 150°. Представим угол, равный 150° в виде разности 180° и 30°, воспользуемся соответствующей формулой приведения: sin⁡150° = sin⁡(180° - 30°) = sin⁡30° = 0,5

В верхней полуплоскости прямоугольной системы координат Оху отметим точку А и выразим координаты этой точки через длину отрезка ОА и угол α между лучом ОА с положительной полуосью Ох. Построим в верхней полуплоскости единичную полуокружность. Проведём отрезок ОА и обозначим точку пересечения построенного отрезка с полуокружностью - точкой М. Абсцисса точки М равна косинусу соответствующего угла α, а ордината точки М – синусу угла α. Определим координаты вектора ОА. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его начала и конца.
Найдём координаты вектора ОМ:
(ОМ) ⃗(cos α - 0; sin α - 0),
(ОM) ⃗(cos α; sin α).
(ОА) ⃗↑↑(ОМ) ⃗, тогда (ОА) ⃗= ОА ∙ (ОМ) ⃗
Запишем равенство векторов в координатах. ((х;у)) ⃗= ((ОА ∙ cos⁡α; ОА ∙ sin⁡α)) ⃗
Так как векторы равны, то равны их соответствующие координаты.
x = ОА ∙ cos α
у = ОА ∙ sin α
Мы выразили координаты точки А через длину отрезка АО и угол α между лучом ОА с положительной полуосью Ох: А (ОА ∙ cos α; ОА ∙ sin α)

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1016 на доске и в тетрадях.

Решение

sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = ; cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = ;

tg 120° = ;

sin 135° = sin (180° – 45°) = sin 45° = ; cos 135° = cos (180° – 45°) = –cos 45° = ;

tg 135° = = –1.

2. Решить задачу № 1018 (в).

Решение

ОА = 5, α = 150°; точка А (х; у) имеет координаты

x = OA cos α = 5 ∙ cos 150° = 5 ∙ cos (180° – 30°) = –5 ∙ cos 30° = ;

y = OA sin α = 5 ∙ sin 150° = 5 ∙ sin (180° – 30°) = 5 ∙ sin 30° = = 2,5.

A .

Ответ: x = ; y = 2,5.

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пунктов 98–99; №№ 1017 (в), 1018 (б), 1019 (г).