Основные методы решения систем уравнений

Основные методы решения систем уравнений

Мы уже умеем решать линейные уравнения. Займёмся решением систем линейных уравнений, а именно таких систем, в которых есть две переменные, например:

Есть два основных метода решения любых систем уравнений:

1. Метод подстановки.

2. Метод домножения и сложения.

Метод подстановки

Идея этого метода в следующем: пусть мы знаем значение одной из переменных. Тогда, чтобы найти вторую переменную, нужно подставить значение первой переменной в любое из уравнений. В результате получается обычное линейное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Пример 1.

Рассмотрим в качестве примера систему уравнений:

Если нам скажут, что  х=2 , то найти у  не составит труда – подставим значение  х=2 , например, во второе уравнение:

Такой же результат получится, если подставить известное значение  х=2  в первое уравнение:

Т. е. мы подставляем известное значение переменной, получаем линейное уравнение с одной переменной, которое мы уже умеем решать.

Но что делать, если ни одно из значений переменных нам не известно?

Предположим, что мы уже знаем значение переменной  . Тогда из первого уравнения мы бы получили такое значение второй переменной:

Но значение переменной   в обоих уравнениях должно получиться одинаковым:

Или:

Решим это линейное уравнение – домножим обе части уравнения на 2:

Перенесем все слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без неё – в другую:

Получим решение системы:

Ответ:  .

Сформулируем алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить одну (любую) переменную из любого уравнения через другую переменную.

2. Подставить полученное выражение в другое уравнение.

3. Решить уравнение с одной переменной.

4. Найденное значение переменной подставить в первое уравнение и найти значение второй переменной.

Практика. Метод подстановки

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение:

Выразим х  из первого уравнения: 

И подставим во второе уравнение:

Решим второе уравнение – для начала раскроем скобки:

Таким образом, получим следующую систему:

Во втором уравнении получили очевидный факт – верное равенство. Эта запись не несёт никакой полезной информации для нас, мы её можем исключить. Тогда останется только первое уравнение. Система эквивалентна одному уравнению: 

,а её решение – это решение данного уравнения, которых бесконечно много.Итак, если после подстановки мы получили верное числовое равенство, то система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

 Пример 2. Решить систему уравнений:

Решение:Выразим у  из первого уравнения:

Подставим выражение во второе уравнение:

Решим полученное уравнение с одной переменной – раскроем скобки, используя распределительный закон, и получим:

Таким образом, получим следующую систему:

Получили неверное числовое равенство. Т. е. уравнение, полученное после подстановки, не имеет решения. Задаем себе вопрос: при каких значениях переменных   и  :  ?

Не существует таких значений. Делаем вывод: система не имеет решений.

Таким образом, если после подстановки мы получили неверное числовое равенство, то решений у системы нет.

Ответ: нет решений.

 Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение:Одно из уравнений содержит только одну переменную. Задача становится только проще. Выражаем у  и подставляем во второе уравнение:

Получаем решение:

Ответ:  .