Перпендикуляр к прямой. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

1

Перпендикуляр к прямой.

Цель урока: познакомиться с новыми геометрическими понятиями. Доказать теорему о перпендикуляре.

1

А

а

Н

АН а

А а ; Н а

Определение : отрезок АН называется перпендикуляром , проведённым из точки А к прямой

а , если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра .

Теорема: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.

1) проведём луч ВА

2) построим 2 = 1

3) отложим отрезок ВМ,

равный АВ, соединим А и М.

4) ∆АВН = ∆МВН

3 = 4,

3 + 4 = 180 о (смежные)

3 = 90 о АН

А

3

1

Н

В

а

2

4

М

а

Докажем единственность:

Допустим, можно

построить другой

перпендикуляр к прямой.

Пусть АК

Мысленно перегнём

чертёж. Тогда верхняя

часть рисунка

наложится на нижнюю.

Через точки А и М проходят две прямые, что невозможно.

А

а

К

Н

а

М

Задача. Точки M и N лежат по одну сторону от прямой q . Перпендикуляры МО и NP , проведённые к прямой q равны. Найдите градусную меру угла NPM , если угол NOP равен 35°.

Решение.

M

N

Рассмотрим ∆ MOP и ∆ NPO .

OP – общая сторона,

М O = NP ,

∠ MOP = ∠ NP О = 90 ° .

Следовательно, ∆ MOP = ∆ NPO

q

35°

(по первому признаку)

P

O

Тогда ∠ NOP = ∠ MPO = 35° .

∠ NP О = ∠ NPM + ∠ MPO,

NPM = ∠ NP О  ∠ MPO.

∠ NPM = 55° .

∠ NPM = 90°  35° ,

Ответ: 55°.

№ 105.(устно)

• Доказать: ∆АВ D = ∆ CDB

2) Найти АВС

С

А

?

44 о

а

В

D

МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Начертим ∆АВС.

Разделим сторону АВ

пополам.

Соединим вершину С

с полученной точкой.

медиана

В

М

АМ = ВМ

М АВ

А

С

Определение: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

• Сколько вершин у треугольника?
• Сколько сторон у треугольника?
• Сколько можно провести медиан в треугольнике?

Медианы треугольника

пересекаются в одной

точке.

В

Эта точка

называется центром

тяжести треугольника

М

N

О

С

А

K

С помощью транспортира

построим биссектрису

угла С.

Она пересекает сторону

АВ в точке K .

биссектриса

Начертим ∆АВС.

В

K

АС K = ВС K

K АВ

С

А

Определение: отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Постройте три биссектрисы треугольника АВС.

В

F

D

O

С

А

E

Биссектрисы треугольника пересекаются

в одной точке.

Начертим ∆АВС.

Проведём перпендикуляр

из точки В к прямой АС

В

В

Ы

С

О

Т

а

ВН АС

Н АС

С

А

Н

Определение: перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Постройте высоты в остроугольном треугольнике

В

Высоты треугольника

пересекаются в одной

точке.

Р

М

О

А

С

Н

Построим высоты в прямоугольном треугольнике.

А

Н

С

В

Построим высоты тупоугольного треугольника.

О

N

М

В

С

А

Н

Высоты или их продолжения пересекаются

в одной точке.

м е д и а н а

б и с с е к т р и с а

Как называется отрезок АО?

О

Медиана

биссектриса

А

высота

А

В

Ы

С

О

Т

А

Медиана

биссектриса

высота

О

О

Медиана

биссектриса

высота

А

Медиана – обезьяна,

У которой зоркий глаз.

Прыгнет точно в середину

Стороны против вершины,

Где находится сейчас.

Высота похожа на кота, Который выгнув спину

И под прямым углом

Соединит вершину

И сторону хвостом.

Домашнее задание:

§ 2. Пункты 16; 17

Вопросы 1 – 9 стр. 47.

Практическое задание:(Зачёт 2)

на листке формата А4 начертить:

1) высоты для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника

2) биссектрисы для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника

3) медианы для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника

лист подписать