Подготовка к ЕГЭ. Угол между прямой и плоскостью.

Определение угла между прямой и плоскостью	Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость
алгоритм построения угла между прямой и плоскостью при решении задач	найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, решать планиметрическую задачу по поиску угла в треугольнике (зачастую прямоугольном).
Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними .	Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними .
Постройте в правильной треугольной пирамиде у гол между ребром SA и плоскостью ABC у гол между ребром SB и плоскостью ASC у гол между ребром AB и плоскостью SBC
Некоторые формулы, используемые для решения задач методом координат
- направляющий вектор прямой Общее уравнение плоскости: - угол между прямой и плоскостью		Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой
Типовая задача		Дан куб . Чему равен угол между и плоскостью ? Ответ: 350
Опорная задача		В правильной шестиугольной призме, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой   и плоскостью  . Решение 1.Проводим прямую  . параллельно прямой  , поэтому угол между прямой   и плоскостью  будет равен углу между прямой   и плоскостью  2. Опускаем на плоскость   перпендикулярную ей прямую  . 3 7 .Проводим через точки   и  прямую  . Эта прямая является проекцией прямой   на плоскость  4.По определению, углом между прямой   и плоскостью   будет угол   между прямой   ее проекцией  . 5. Находим  : По свойствам правильной шестиугольной призмы треугольник OCB является правильным треугольником. Все углы правильного треугольника равны 60 градусам. Следовательно Ответ:
найти угол между прямой и плоскостью			2
1
4 3

6

8

Ответы на задания по готовым чертежам:

1 способ (геометрический):

Сечение плоскостью A₁BC есть прямоугольник A₁BCD₁.

Из точки C₁ проведем перпендикуляр C₁H к CD₁. BH — проекция BC₁на плоскость A₁BC. Значит, нужно найти угол C₁BH.

В прямоугольном треугольнике D₁C₁C находим:

В прямоугольном треугольнике BCC₁ находим: BC₁ = 17.

В прямоугольном треугольнике C₁HB находим: 

Ответ:

Задание из открытого банка задач ЕГЭ

В прямоугольном параллелепипеде   найдите угол между плоскостью   и прямой  , если 

2 способ (аналитический):

1. Введем систему координат с началом в точке тогда

2. Найдем уравнение плоскости :

, тогда

Тогда уравнение плоскости принимает вид:

|∙24

1. направляющий вектор прямой :

2. Тогда по формуле угла косинуса угла между направляющим вектором и нормалью плоскостями получаем:

Ответ: .

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение города Мурманска «Лицей №2»

«Угол между прямой и плоскостью»

Мурманск, 2020 г.

Угол между прямой и плоскостью

II. ОТМЕТИТЬ ВЕРНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

1. Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то углы между наклонными и плоскостями равны»?

2. К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что угол между наклонными, проведёнными к вершинам прямоугольника из точки, лежащей на перпендикуляре, и плоскостью прямоугольника равны?

3. Из точки к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках и . Верно ли утверждение: « , если »?

4. Угол между прямой и плоскостью может быть не больше . 

5. Угол между диагональю и основанием куба равен .

Ответы:

1. нет

2. нет

3. да

4. да

5. нет

Угол между прямой и плоскостью

III. ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ

Ответы к задачам на готовых чертежах

таблица 1.

таблица 2.

таблица 3.

таблица 4.

Угол между прямой и плоскостью

V. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

(тренировочные задачи)

1. Основание треугольной пирамиды —прямоугольный треугольник . Высота пирамиды проходит через точку . Найти углы, которые образуют боковые рёбра и с плоскостью основания, если , а угол между плоскостями и равен

2. Высота треугольной пирамиды с вершиной проходит через точку . Прямые и перпендикулярны. Найти углы, которые образуют боковые рёбра и с плоскостью основания, если а расстояние от точки до прямой равно .

3. Дана треугольная пирамида с основанием ; —точка пересечения медиан треугольника . Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, если пирамида правильная, а её высота составляет от высоты боковой грани .

4. Дана треугольная пирамида ; —точка пересечения медиан основания . Найти угол между прямой и плоскостью , если пирамида правильная, а угол между прямой, проходящей через точку и середину ребра , и прямой равен .

5. Дан прямоугольный параллелепипед , в котором . Точка —середина ребра , точка N лежит на ребре , причём . Найти угол между прямой и плоскостью грани .

6. Дана прямая призма , основание которой—прямоугольный треугольник с прямым углом и катетом , вдвое большим бокового ребра призмы. Точка —середина ребра , точка лежит на ребре , причём . Найти угол между прямой и плоскостью основания , если .

7. Дана правильная треугольная призма с основаниями и . Скрещивающиеся диагонали и боковых граней и перпендикулярны. Найти угол между прямой и плоскостью .

8. Дана правильная четырёхугольная призма с основаниями и . Точка —середина ребра . Прямые и перпендикулярны. Найдите угол между прямой и плоскостью .

9. Дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной . Точка —середина ребра . Найдите угол между прямой и плоскостью , если .

10. Дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной .

1. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую и середину высоты пирамиды.

2. Пусть —точка пересечения этой плоскости с ребром . Найдите угол между прямой и плоскостью , если .

ответы:

1. 

2. 

3. ,

4. 

5. 

6. 

7. 

9. 

10. 

Угол между прямой и плоскостью

источники:

1. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2016

2. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия. / Рабинович Е.М. - М.: ИЛЕКСА, 2014

3. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 10-11 кл. / Смирнова И.М. - М. - "Аквариум", 1999

4. Геометрия: Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы / Э.Н.Балаян. - Ростов-н/Д: Феникс, 2013

5. ЕГЭ 2019. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия. / Е.В.Потоскуев. - М.: "Экзамен", 2019

6. ЕГЭ 2019. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень) / под ред. И.В.Ященко - М. : МЦМНО, 2019

7. https://shkolkovo.net/catalog/geometriya_v_prostranstve_stereometriya/nahozhdenie_ugla_mezhdu_pryamoj_i_ploskostyu

Угол между прямой и плоскостью

IV. ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Прямая пересекает плоскость . На прямой отмечен отрезок , причем известно, что проекция этого отрезка на плоскость равна . Найдите синус угла между прямой и плоскостью .

2. – правильный треугольник со стороной 3, – точка, лежащая вне плоскости треугольника, причем . Найдите угол, который образуют прямые с плоскостью треугольника. Ответ дайте в градусах.

3. – куб. Точка – середина ребра , а точка – середина отрезка . Найдите , где – угол между прямой и плоскостью

4. – куб. Точка – середина ребра , а точка делит отрезок в отношении , считая от вершины . Найдите , где – угол между прямой и плоскостью (ABC).

5. Чему равен , если – угол наклона диагонали куба к одной из его граней?

6. Дан треугольник с углом . Вне плоскости треугольника отмечена точка такая, что и . Известно, что . Найдите косинус угла между прямой и плоскостью треугольника.

7. Дан куб . Чему равен угол между и плоскостью ?

1. Дан куб . Точка – середина стороны . Чему равен квадрат котангенса угла между и плоскостью ?

1. В прямоугольном параллелепипеде  , у которого  , найдите тангенс угла между плоскостью   и прямой  , проходящей через середины ребер   и  .

1. В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны 1, найти угол между прямой плоскостями:

ответы.

1. 0,28

2. 60

3. 0,5

4. 8

5. 2

6. 0,4

7. 30

8. 17

9. 0,6

10. 

11. 

12. 
    
    
    
    
    

Угол между прямой и плоскостью

I. ТЕОРИЯ

Определение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость

Для нахождения угла между прямой и плоскостью нужно опустить перпендикуляр из любой точки прямой  на плоскость. А потом провести прямую через основание перпендикуляра и точкой пересечения прямой и плоскости.

При решении задач нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними .

Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними .

Предлагаемый материал предназначен как для подготовки выпускников 11-х классов общеобразовательных учреждений к государственной итоговой аттестации по математике, так и при изучении темы «Угол между прямой и плоскостью». Материал состоит из комплекта: теория по теме, задания на выбор верного утверждения, задачи на готовых чертежах, опорные задачи и задачи для самостоятельного решения. все наборы задач снабжены ответами и могут быть использованы при различных видах работы с обучающимися: в индивидуальных консультациях, при самостоятельной подготовке или поэтапно при изучении темы.

Работа составлена с использованием следующих источников:

1. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2016

2. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия. / Рабинович Е.М. - М.: ИЛЕКСА, 2014

3. Сборник задач по геометрии в рисунках и тестах. 10-11 кл. / Смирнова И.М. - М. - "Аквариум", 1999

4. Геометрия: Задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы / Э.Н.Балаян. - Ростов-н/Д: Феникс, 2013

5. ЕГЭ 2019. 100 баллов. Математика. Профильный уровень. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия. / Е.В.Потоскуев. - М.: "Экзамен", 2019

6. ЕГЭ 2019. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень) / под ред. И.В.Ященко - М. : МЦМНО, 2019