Подготовка к ОГЭ

Ответы

Вариант 1:

1.  Ответ: 56

2.Ответ: 25.

3. Ответ: 120.

4.Ответ: 11.

5. Какие из следующих утверждений верны?

 Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.»  — неверно, сумма углов выпуклого n  — угольника равна (n – 2)·180°.

2)  «Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.»  — неверно, в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

3)  «Диагонали квадрата делят его углы пополам.»  — верно, Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, делят углы квадрата пополам. Таким образом, прямоугольные треугольники равны.

4)  «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник  — параллелограмм.»  — неверно, если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Ответ: 3.

6.  Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О  — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°

.

Решение.  Проведём радиус OA. Треугольник AOC  — прямоугольный, ∠OAC = 90°. ∠COA = 180° − ∠AOD = 180° − 100° = 80°; ∠ACO = 90° − 80° = 10°.

Ответ: 10.

7. Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.

Решение.  Рассмотрим маленькие треугольники   и    ,   следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, 

Любой угол правильного шестиугольника равен   Треугольники   и    — равнобедренные, углы при основаниях равны   Рассмотрим развёрнутый угол 

Аналогично все остальные углы шестиугольника   равны   следовательно, шестиугольник    — правильный.

Вариант 2

1.Ответ: 99.

2.Ответ: 10.

3.Ответ: 30.

4.Ответ: 4.

5. 1)  На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.

2)  В любой треугольник можно вписать окружность.

3)  Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка»  — неверно, т. к. существует бесконечное множество таких точек, и все они располагаются на серединном перпендикуляре.

2)  «В любой треугольник можно вписать окружность»  — верно, по свойству треугольника.

3)  «Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом»  — верно, т. к. если две смежные стороны равны, то и все стороны в параллелограмме равны.

Ответ: 23.

6. Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках   и   соответственно. Найдите длину отрезка AB, если   см,   см.

Решение.  1)    по двум углам:

а)    как вертикальные;

б)    как внутренние накрест лежащие углы при   и секущей MK.

2)  по двум углам:

а)     — общий;

б)    как соответственные при   и секущей MN.

 см.

3)  Аналогично   см.

4)    см.

Ответ: 30 см.

7. ешение.  Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен AO:OC. Поскольку AO = OC , эти треугольники равны, следовательно, BO = OD.