Подходы к решению заданий 18 профильного ЕГЭ по математике.

Числа и их свойства Задание 19 профильного ЕГЭ

МАОУ «Гимназия № 1 г. Благовещенска»

Учитель: Ситникова Людмила Геннадьевна

№ 1

• По кругу в некотором порядке по одному разу записаны числа от 9 до 18 . Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их НОД .

• А) Возможно ли, что все НОД равны 1?
• Б) Возможно ли, что все НОД попарно различны?
• В) Какое наибольшее количество попарно различных НОД могло при этом получиться?

• По кругу в некотором порядке по одному разу записаны числа от 9 до 18 . Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их НОД .

• А) Возможно ли, что все НОД равны 1?

Пример:

Если чередуем четные и нечетные числа, при условии, что соседние числа взаимно простые:

9, 16 , 15, 14 , 13, 12 , 11, 18 , 17, 10 .

В этом случае все НОД соседних чисел равны 1 .

Ответ: а) Да, возможно.

• По кругу в некотором порядке по одному разу записаны числа от 9 до 18 . Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их НОД .

• Б)Возможно ли, что все НОД попарно различны?

Решение:

Если всего записано по кругу 10 чисел ( 18 – 8 = 10) и для каждой пары ищем НОД, то получим всего 10 НОД . Пусть все они различны. Тогда хотя бы один из них не меньше 10.

Но это невозможно. Так как для данных чисел наибольший из всех возможных НОД равен НОД(18;9)=9.

Ответ: б) Нет, не возможно.

• По кругу в некотором порядке по одному разу записаны числа от 9 до 18 . Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их НОД .

• В) Какое наибольшее количество попарно различных НОД могло при этом получится?

Решение:

Числа 11 , 13 и 17 – простые, НОД этих чисел с остальными равны 1.

Хотя бы четыре ( если простые числа идут подряд ) из всех возможных НОД равны 1 , а значит совпадают .

Всего же 10 НОД для соседних пар чисел, поэтому наибольшее возможное количество различных НОД равно 7.

Пример : 9; 18; 12; 16; 14; 11; 17; 13 ; 10; 15 – получается 7 попарно различных НОД (среди которых и НОД, равное 1).

НОД(9;18)=9 , НОД(18;12)=6, НОД(12;16)=4, НОД(16;14)=2, НОД(14;11)=1, НОД( 11;17)=1, НОД(17;13)=1, НОД(13;10)=1, НОД(10;15)=5, НОД(15;9)=3 .

Ответ: в) 7.

№ 2

• На доске записано 30 различных натуральных чисел , десятичная запись которых оканчивается на цифры 2 или 6 . Сумма всех чисел равна 2454 .

• А) Возможно ли, что на доске будет поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
• Б) Возможно ли, что ровно одно число оканчивается на 6?
• В)Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

№ 2

• На доске записано 30 различных натуральных чисел , десятичная запись которых оканчивается на цифры 2 или 6 . Сумма всех чисел равна 2454 .

• А) Возможно ли, что на доске будет поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6 ? Решение:
• Если чисел, оканчивающихся на 2 и на 6 , записано поровну , т е по 15, то сумма всех 15 чисел, оканчивающихся на 2, будет оканчиваться на 0. Сумма 15-ти чисел, оканчивающихся на 6, тоже оканчивается на 0. В этом случае, сумма всех 30-ти чисел должна оканчиваться на 0 , что противоре-чит условию , что сумма всех чисел 2454 .

• Ответ: а) нет.

№ 2

• На доске записано 30 различных натуральных чисел , десятичная запись которых оканчивается на цифры 2 или 6 . Сумма всех чисел равна 2454 .

• Б ) Возможно ли, что ровно одно число оканчивается на 6?
• Решение:
• Пусть на доске ровно одно число , оканчивающееся на 6 . Тогда 29 чисел оканчиваются на 2 . Их сумма не меньше суммы следующих 29-ти чисел, оканчивающихся на 2:
• = 2+12+22+32+…+ 282 (где = + 28d=2 + 28 10 =282).
• = ЭТО ПРОТИВОРЕЧИТ УСЛОВИЮ, ЧТО СУММА РАВНА 2454. ОТВЕТ: б) НЕТ, НЕ МОЖЕТ.
• оТВЕТ

№ 2

• На доске записано 30 различных натуральных чисел , десятичная запись которых оканчивается на цифры 2 или 6 . Сумма всех чисел равна 2454 .

• В) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6 , может быть записано на доске? Решение:
• Пусть n – количество чисел, оканчивающихся на 6 ,
• 30 - n – количество чисел, оканчивающихся на 2.
• Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 2 ,
• не меньше суммы 2+12+…+(2+10(29-n))=
• , где d=10. (По формуле Сумма чисел, оканчивающихся на 6 , не меньше суммы
• 6+16+…+(6+10(n-1))= = 5 .
• Отсюда для суммы всех 30 чисел: 2454

№ 2

• На доске записано 30 различных натуральных чисел , десятичная запись которых оканчивается на цифры 2 или 6 . Сумма всех чисел равна 2454 .

• В) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6 , может быть записано на доске?
• Решение (продолжение) :
• 0

• Ответ: в) =11.
• Ответ: в) =11.
• Ответ: в) =11.
• Ответ: в) =11.
• Ответ: в) =11.
• Ответ: в) =11.

№ 3

• После проверки контрольной выяснилось, что задачу решила меньшая часть класса. На перемене один ученик доказал, что его решение задачи верное. В классе учится не более 30 и не менее 20 человек.

• А) Возможно ли, что теперь уже большая часть класса решила задачу верно?

• Б) Возможно ли, что исходный процент решивших задачу выражался нецелым числом, а после перемены – целым числом?

• В)Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших задачу?

№ 3

• После проверки контрольной выяснилось, что задачу решила меньшая часть класса. На перемене один ученик доказал, что его решение задачи верное. В классе учится не более 30 и не менее 20 человек.

• А) Возможно ли, что теперь уже большая часть класса решила задачу верно? Решение:
• Да, возможно. Пусть в классе 29 человек ( любое нечетное количество от 21 до 29 ). И сначала решили задачу верно 14 человек, а после перемены – 15 чело-век ( большая часть класса ) .

• Ответ: Да, возможно.

№ 3

• После проверки контрольной выяснилось, что задачу решила меньшая часть класса. На перемене один ученик доказал, что его решение задачи верное. В классе учится не более 30 и не менее 20 человек.

• Б) Возможно ли, что исходный процент решивших задачу выражался нецелым числом, а после перемены – целым числом?
• Решение:
• Пусть в классе было 30 учеников, из которых ровно 2 решили верно задачу. Тогда процент учеников, решивших задачу = , был нецелым .
• А после перемены, когда число решивших станет 3 , процент решивших
• будет целым:
• Ответ: б) Да, возможно.

№ 3

• После проверки контрольной выяснилось, что задачу решила меньшая часть класса. На перемене один ученик доказал, что его решение задачи верное. В классе учится не более 30 и не менее 20 человек.

• В)Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших задачу?
• Решение:
• Пусть n – количество учеников в классе, k – количество решивших задачу, k Тогда исходный процент – будет наименьшим при наименьшей дроби
• Наименьшее значение дроби равно 4, при k=1, n=25.

№ 3

• После проверки контрольной выяснилось, что задачу решила меньшая часть класса. На перемене один ученик доказал, что его решение задачи верное. В классе учится не более 30 и не менее 20 человек.

• В)Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших задачу?
• Решение (продолжение) :
• Наименьшее значение дроби равно 4, при k=1, n=25.
• При n.
• При n25, либо k=1, что не подходит, т к дроби ; ; …; не являются натуральными ; либо k и тогда
• Ответ: 4.