Понятие площади многоугольника. Формула Пика.

Площадь многоугольника. Формула Пика.

Приступаем к изучению понятия площади фигур. Как понять, что такое площадь? Ниже приведены два рисунка. Как вы думаете, чем они отличаются? В чём существенная разница между ними?

На первом рисунке фигура имеет только границу, а на втором рисунке, кроме границы, закрашена вся внутренняя её область. У левой фигуры можно вычислить периметр (т.е. сумму всех её сторон), а у правой фигуры можно вычислить периметр и площадь, т.е. численное значение всей внутренней области. Площадь измеряется в квадратных единицах, т.е. м², см², км², и т.д. Кроме того, есть ещё и другие единицы измерения площадей:

Определение: Площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Равные фигуры имеют равную площадь.

На рисунке изображены равные многоугольники и , значит, их площади равны.

Обратное утверждение неверно. Фигуры могут иметь одинаковую площадь, при этом сами они не равны. Это равновеликие фигуры.

Определение: Равновеликими называются фигуры, имеющие одинаковую площадь.

Например, площадь квадрата равна 4 ед² (он состоит из 4 единичных квадратов), и площадь прямоугольника равна 4 ед² (он тоже состоит из 4 единичных квадратов). Фигуры разные, а площади у них равны, значит, они равновеликие.

1. П
   лощадь фигуры равна сумме площадей частей, на которые эта фигура разделена отрезками.

Многоугольник разделён диагоналями, исходящими из одной вершины (например, ) на пять частей (треугольников). Значит, площадь всего многоугольника равна сумме площадей частей, на которые этот многоугольник разделён. Причём, делить многоугольник можно как угодно, главное, чтобы можно было найти площадь получившихся частей.

1. П
   лощадь квадрата со стороной, равной единице измерения (1 мм, 1 см, 1 м и т.д.), равна единице.

Е
сли какой-либо многоугольник нарисован на клетчатой бумаге (квадратной решётке), то существует универсальный способ определения его площади. Этот способ придумал австрийский математик Пик ещё в 1899 году. Разберём его на примере.

На рисунке изображён многоугольник, площадь которого нужно найти. Отметим синим цветом целочисленные точки (т.е. точки, которые лежат в уголках клеток), расположенные на границе этого многоугольника, а жёлтым цветом целочисленные точки, лежащие внутри многоугольника.

Георг Пик вывел формулу для нахождения площади фигуры, используя только количество целочисленных точек:

здесь В – количество точек внутри фигуры; Г – количество точек на границе этой фигуры.

Используя эту формулу, найдём площадь нашего многоугольника.

Этот способ нахождения площади имеет и практическое применение. Например, если необходимо найти площадь фигуры неправильной формы, то на эту фигуру накладываем сетку (как на рисунке вверху) и используем формулу Пика.

Найдём таким же образом площадь кольца.

Найдём площадь этого же кольца по известной формуле площади круга:

Сравнивая полученные результаты при разных способах вычисления, мы видим, что в случае нахождения площади круга или кольца погрешность достаточно серьёзная.

Поэтому, нужно запомнить, что формула Пика точно работает только для многоугольников!

1. Найдите площади фигур, изображённых на квадратной решётке, используя формулу Пика:

1. Разделите шестиугольник на части разными способами. Для каждого случая сделайте рисунок. Запишите, как будет вычисляться площадь пятиугольника, учитывая разделение.

1. Определите, какие фигуры на рисунке имеют одинаковую площадь. Найдите их площади.

1. П
   рямоугольники разделены на равные квадраты со стороной 1 ед. Посчитайте, сколько квадратов содержится в каждом прямоугольнике. Какова площадь каждого прямоугольника? Подумайте, как найти площадь прямоугольника, не пересчитывая все квадраты?

2. Н
   айдите равновеликие многоугольники.

2