Урок математики даёт учитель МОУ гимназии №1
г. Благовещенска Амурской области
Ситникова Людмила Геннадьевна.
Урок по теме: «Построение графиков функций и уравнений, выражение которых содержит знак модуля» на основе проблемно-исследовательской технологии.
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудование:
раздаточный материал – карточки для разноуровневой самостоятельной работы по выбору учащихся; карточки для индивидуальной работы и конверт с двухуровневыми указаниями для их решения,
компьютерные презентации, выполненные творческой группой учащихся,
мультипроектор.
Предварительные знания и умения учащихся:
На предыдущих уроках ученики изучили свойства и график дробно-линейной функции.
Цели урока:
создать условия для самостоятельного поиска, осознания и осмысления методов построения графиков уравнений с модулями;
способствовать обучению школьников умению определять черты сходства и различия, обобщать изучаемые объекты, а также выдвигать гипотезу и обосновывать своё предположение;
воспитание культуры учебного труда, наблюдательности, самостоятельности и настойчивости в достижении поставленной цели.
Ход урока.
Актуализация ранее изученного материала, постановка целей урока.
Задание 1.
-Пусть функция задана уравнением у = f(x). Используя его, запишите всевозможные уравнения, выражение которых содержит знак модуля. (Ребята ведут записи на выданных больших листах бумаги. Работа идёт в парах.)
- у = |f(x)|, y = f(|x|), |y| = f(x), y = |f(|x|)|, |y| = f(|x|), |y| = |f(x)|, |y| = |f(|x|).
Листы по желанию вывешиваются на доску. Их обсуждают.
Задание 2.
- Запишите всевозможные уравнения с модулями, которые можно составить, используя дробно-линейную функцию Y = Х / Х + 1.
- Y = | X / X+1 | , Y = |X| / |X| + 1 , |Y| = X / X+1, |У| =|Х / Х+1|, |У| = |Х| / |Х|+1 и т. д.
Ученики демонстрируют листы с выполненными заданиями и обсуждают возможные варианты уравнений, содержащих знак модуля.
Ученики вместе с учителем формулируют цели урока:
- Самостоятельно «открыть» методы построения графиков уравнений, содержащих знак модуля.
- Сформулировать алгоритм построения графиков уравнений с модулями. Развивать наблюдательность, умение анализировать, делать выводы, обобщать.
- Какую теорию необходимо для этого повторить?
- Определение и свойства модуля, определения функции и уравнения, графика функции и уравнения.
( Повторяют необходимую теорию).
2) Изучение нового материала. Исследовательская работа в группах.
Задание 3.
-Я предлагаю вам разделиться на 4 научно-исследовательские лаборатории (НИЛ) и самостоятельно провести исследовательскую работу. Цель исследования – найти способы построения графиков уравнений с модулями. Выберите уравнение, над графиком которого вы хотите работать и займите место, приготовленное для вашей лаборатории. Постарайтесь сформулировать общий алгоритм для построения графиков уравнений вашего вида. Обоснуйте предложенный алгоритм.
Ученики занимают места в соответствии с выбранными уравнениями.
- Группа учащихся «Поиск», занимавшаяся дома по индивидуальному плану, получает конверт с особым заданием.
В каждой «лаборатории» выбирается старший научный сотрудник, который руководит исследованиями и оценивает работу членов группы.
НИЛ №1. Уравнение У = | X / X+1 |.
Так как У= Х / Х+1 = (X+1–1)/(X+1) = -1/(X+1) + 1,
то построим сначала график функции
У= -1/(X+1) + 1 с асимптотами Х= -1 и У=1.
Там, где график идёт выше оси абсцисс, f(x)0, а
значит | f(x) | =f(x), график У=|X / X+1| совпадает с
графиком У= Х / Х+1. Там, где f(x)
идёт ниже оси абсцисс), | f(x) | = -f(x), значит на
этом участке нужно у каждой точки графика
У= Х / Х+1 поменять знак ординаты, т. е. отразить
эту часть графика относительно оси абсцисс.
НИЛ №2. Уравнение У = |Х| / |Х|+1.
Построим сначала график функции У = Х / Х+1.
Так как для положительных значений аргумента
|Х| = Х, то справа от нуля график функции
У = |Х| / |Х|+1 совпадает с графиком функции
У = Х / Х+1. Чтобы получить левую половину
искомого графика, заметим, что функция
У = |Х| / |Х|+1 чётная. Значит, левая половина
графика получается из его правой половины
зеркальным отражением относительно оси
ординат.
НИЛ №3. Уравнение |У| = Х / Х + 1.
В тех точках, где Х / Х+1
теряет смысл, так как |У| 0 или |У| = 0.
Рассмотрим уравнение при условии, что Х /Х+10.
По определению модуля:
У = Х / Х+1 при У0 или У = 0;
У = - Х / Х+1 при У
У = Х / Х=1 выделим те участки, где У0 или
У = 0, а затем достроим к ним их отражения
относительно оси абсцисс.
После обсуждения задания в группах, учащиеся выступают перед классом с результатом своих исследований, обобщают результаты своих наблюдений для всех уравнений данного типа. Формулируют и обосновывают алгоритм построения графиков на основании определения и свойств модуля. Полученные выводы корректируются в результате сопоставления своей позиции с позициями других групп.
Задание 4.
- Запишите алгоритмы построения графиков функций |y| = f(|x|), |y| = |f(x)|.
Учащиеся обобщают способы построения графиков уравнений, содержащих знак модуля.
Ребята из лаборатории «Поиск», занимавшиеся по индивидуальной программе, показывают компьютерную презентацию своего алгоритма построения графиков уравнений, содержащих знаки модуля.
у=|f(х)| | Часть графика функции у=f(х), где функция принимает отрицательные значения, отражается относительно оси ОХ, а часть графика, находящаяся в верхней полуплоскости остаётся прежней. |
у=f(|х|) | Часть графика f(х), где значения х неотрицательны, оставляем без изменения, и, отразив её относительно оси ОУ, получим другую часть графика. |
|у|=f(х) | Выделить часть графика функции у=f(х), где значения f(х) неотрицательны и дополняем её образом при осевой симметрии относительно оси ОХ. |
|у|=|f(х)| | Верхнюю часть графика функции оставляем прежней, а часть графика функции, находящуюся в нижней полуплоскости, отражаем относительно оси ОХ. Полученный график дополняем его образом при симметрии относительно оси ОХ в нижнюю полуплоскость. |
|у|=f(|х|) | Оставляем часть графика у=f(х), где х принимает неотрицательные значения, и дополняем её образом при симметрии относительно оси ОУ. Затем часть графика, где значения функции отрицательны, отбрасываем, а верхнюю часть графика дополняем её образом при симметрии относительно оси ОХ. |
Учащиеся оценивают их работу и составляют памятку для построения графиков уравнений с модулям.
3) Первичное закрепление нового материала.
Учащиеся группы «Поиск», выполнявшие дома творческое задание, предлагают одноклассникам задания 5 и 6.
Задание 5. Игра «лови ошибку» с использованием компьютерной презентации.
- Установите ошибку в соответствии между графиками и
уравнениями.
З адание 6. Группа «Поиск» демонстрирует сказку на экране (используя компьютерную презентацию).
В одном математическом царстве жил-был король. И была у него дочь, красавица принцесса по имени Функция. Настало время выбирать принцессе жениха. Со всего света съехались к принцессе принцы. По древней традиции, чтобы стать женихом Функции, принц должен был отгадать загадку: как построить график уравнения
|y| = f(|x|) и получить волшебный цветок для принцессы? Долго ломали голову над задачей принцы Синус, Косинус, Тангенс и многие другие. Один только принц Модуль стоял в стороне и что-то чертил. Когда подошла его очередь отвечать на загадку, принц Модуль дал правильный ответ. И вскоре состоялась свадьба принца Модуля и принцессы Функции. Как принц отгадал загадку?
З АГАДКА:
Учащиеся обсуждают способы построения графика уравнения, повторяют алгоритм построения графиков уравнений, содержащих модули. Затем члены лаборатории «Поиск» выводят на экран своё решение.
4)Самостоятельная работа в парах с последующей проверкой.
Учащиеся получают карточки с печатной основой с заданиями двух видов.
- Используя график функции y = f(x), постройте графики уравнений:
1) |y| = f(x), |y| =|f(x)|, |y| =f(|x|);
2) |y| = |f(x), |y| =f(|x|).
Учащиеся выбирают вариант задания по своему желанию и выполняют его на листах с готовой системой координат, обсуждая решение в парах. При решении используются составленные памятки. Затем варианты решения демонстрируются у доски и обсуждаются с одноклассниками, даётся оценка решения. Вносятся исправления с учётом обсуждения.
5) Разбор с классом задания для группы «Поиск», работавшей по индивидуальному плану.
ЗАДАНИЕ: Найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Х + |Х| = У+ |У|. (В случае затруднения группа могла получить конверт с указаниями двух уровней).
Решение.
1) При Х0 или Х=0, Х+Х=У+У, т. е. У=Х.
2) При У0 или У=0, ХУ=0.
3) При У, 0=0 - верно
при всех X
4) При Х0 или Х=0, и У
Х=0.
5) Построим ГМТ «по кусочкам».
- Почему при построении ГМТ нельзя было воспользоваться составленным в начале урока алгоритмом?
- Данное уравнение содержит одновременно переменные со знаком модуля и без него.
6) Оценка результатов работы на уроке.
Ученикам предлагается ответить на вопросы:
- Что из изученного на уроке вы считаете наиболее важным?
- Какой вид учебной работы на уроке вам показался интересным?
- Оцените работу учеников, подготовивших компьютерные презентации.
- Считаете ли вы, что цель урока достигнута?
- Ваши пожелания?
7)Домашнее задание.
- Какого вида задания нужно включить в домашнюю работу, чтобы лучше усвоить тему?
- Отредактируйте памятку методов построения графиков уравнений с модулями.
- Придумайте интересные уравнения, содержащие знак модуля, и постройте их графики.
Можете подготовить компьютерную презентацию.
Урок окончен. Спасибо за хорошую работу.
8