Построение сечений многогранников

Построение сечений многогранников

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.

Рассмотрим взаимное расположение многогранника и плоскости

С екущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то в сечении могут получиться либо треугольники, либо четырехугольники.

Параллелепипед имеет шесть граней, тогда в сечении могут получиться либо треугольники, либо четырехугольники, либо пятиугольники, либо шестиугольники.

Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра и параллелепипеда

№ 1. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки
N, М, Р (смотри рисунок).

Решение:

Вспомним аксиому А3: Если 2 плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (т.е. две плоскости пересекаются по прямой).

Согласно аксиоме А3 плоскости NМР и АВС имеют общие точки N и M, а значит, пересекаются по прямой NM [ краткая запись: (NМР) (ABC)=NM ]
Аналогично, (NМР) (РBC)=MР и (NМР) (ACР)=NР.
NМР – искомое сечение.

№ 2. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки N, М, Р (смотри рисунок).

Решение:

(NМР) (DBC)=MN,
(NМР) (ABD)=NР.

Точки Р и М соединить нельзя, так как они не лежат в одной грани. Секущая плоскость пересекает плоскость основания АВС в точке Р, для построения ещё одной общей точки продолжим прямые NM и ВС до пересечения в точке R – это и будет вторая общая точка для плоскостей АВС и NMP.

Тогда (NМР) (ABС)=РR. Прямая PR пересекает ребро АС в точке F. Соединим точки М и F.
Четырёхугольник NМFР – искомое сечение.

№ 3. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки N, М и Р, если прямая PN параллельна ребру АС (смотри рисунок).

Решение:

Вспомним теоремы: (1) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости (признак параллельности прямой и плоскости) .

(2) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

По условию задачи МNP – секущая плоскость, прямая AC не лежит в плоскости МNP и параллельна прямой PN, которая лежит в плоскости МNP, тогда по теореме (1) прямая AC параллельна плоскости МNP.

Грань АСD проходит через прямую AC, параллельную плоскости МNP, тогда по теореме (2) плоскости АСD и MNP пересекаются по некоторой прямой f, которая будет параллельна прямой АС.

П лоскости АСD и MNP пересекаются по прямой f, а значит, общая точка этих плоскостей – точка М, лежит на прямой f. Поэтому через точку М на грани АСD проведём прямую f параллельно АС.

Прямая f пересекает ребро АD в точке К.
Четырёхугольник PNMK – искомое сечение.

Краткая запись решения:

1. ( AC (МNP), AC ǀǀ PN, РN (МNP) ) AC ǀǀ (МNP)

2. ( АС (АСD), AC ǀǀ (МNP) ) (АСD) (МNP) = f , где f ǀǀ АС

3. ( (АСD) (МNP) = f, М (МNP) , М (АСD) ) М f

4. f АD = К

PNMK – сечение .

У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, поэтому при построении сечений параллелепипеда используют свойство параллельных плоскостей:

(3) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

№ 4. Построить сечение куба
плоскостью, проходящей через точки
А, С и М (смотри рисунок).

Решение:

АСМ – секущая плоскость, грани АВСD и
А₁В₁С₁D₁ противоположны, значит лежат
в параллельных плоскостях АВС и А₁В₁С_1.
1) (АСМ) (АВС) = АС и (АСМ) (А₁В₁С₁) = f , где М f.
По свойству параллельных плоскостей (3) имеем: f ǀǀ АС.
Поэтому через точку М на грани А₁В₁С₁D₁ проведём прямую f параллельно АС.
2) f А₁В₁ =К.

АСMK – искомое сечение .

№ 5. Построить сечение параллелепипеда OERNO₁E₁R₁N₁ плоскостью, проходящей через точки Р, К и М, если точка К лежит на продолжении ребра ЕО, точка М – на ребре ОО₁ (смотри рисунок).

Решение:

КМР – секущая плоскость.

1. (КМР) (EOO₁) = KM, KM EE₁ = A

2. (КМР) (OER) = KP, KP ER = B, KP ON = T

3. (КМР) (O₁ON) = MT, MT NN₁ = C

A BPCM – сечение.

Предлагаю читателям самостоятельно выполнить построение сечений по заданным рисункам.

Проверить правильность построения сечений можно на следующей странице. Удачи!

Дата _____ урок № __________ ___________класс

Тема урока:__________________________________________
____________________________________________________

Тип урока_______________________
Планируемые результаты:________________________________

Цели ученика: иметь представления об аксиомах стереометрии, многогранниках и их сечениях.

Цели учителя создать условия учащимся:

для формирования представлений о многогранниках и их сечениях; для формирования умений применять изученные аксиомы и теоремы при построении сечений.

Воспитательная задача: научить учащегося отстаивать свою точку зрения и прислушиваться к доводам других участников совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение: аксиомы стереометрии.

3. Повторение: тетраэдр

4. Закрепление (построение сечений тетраэдра по готовым рисункам)

5. Повторение: параллельность в пространстве

6. Повторение: параллелепипед

7. Закрепление (построение сечений тетраэдра и параллелепипеда по готовым рисункам)

8. Самостоятельная работа.

9. Рефлексия.

10. Домашняя работа повт. гл. 2 и 3, решить задачи № 68, 84.

11. Подведение итогов

Дата: 05.09 урок № 11-А класс

Тема урока: Параллельность в пространстве
Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Планируемые результаты: иметь представления о параллельности в пространстве, о многогранниках и их сечениях; уметь применять теоретические знания на практике при построении сечений

Цели ученика: иметь представления об аксиомах стереометрии, многогранниках и их сечениях.

Цели учителя: создать условия учащимся:

для формирования представлений о многогранниках и их сечениях; для формирования умений применять изученные аксиомы и теоремы при построении сечений.

Воспитательная задача: научить учащегося отстаивать свою точку зрения и прислушиваться к доводам других участников совместной деятельности, в том числе в ситуации столкновения интересов.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение: аксиомы стереометрии.

3. Повторение: тетраэдр

4. Закрепление (построение сечений тетраэдра по готовым рисункам)

5. Повторение: параллельность в пространстве

6. Повторение: параллелепипед

7. Закрепление (построение сечений тетраэдра и параллелепипеда по готовым рисункам)

8. Самостоятельная работа.

9. Рефлексия.

10. Домашняя работа повт. гл. 2 и 3, решить задачи № 68, 84.

11. Подведение итогов