Практикум. Решение геометрических задач. 11 класс.

Решение одной задачи несколькими способами. 11 класс.

Задача.*

Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат площадью 10 Боковое ребро см. Найти расстояние между стороной основания и диагональю, не имеющей с ней общих точек.

Применим различные методы исследования к данной задаче.

• Метод проекций.

• Метод объёмов.

• По определению

• Метод координат.

Метод проекций

1. Выбираем плоскость (ВВ₁С₁С), перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых АВ.

2. Проецируем каждую прямую на эту плоскость. Проекция АВ – это точка В. Проекция - В₁С.

3. Расстояние между проекциями будет расстоянием между скрещивающимися прямыми – это ВК.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно определить как расстояние между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость проекций.

Решение.

1. ВС = = cм

2. Рассмотрим ∆ АВ₁В (∟В₁ВС = 90⁰)

3. Теорема Пифагора

=10= В₁С

4. S=½BK* В₁С

5. S=½*3 * =15

6. 30=BK*10

7. BK=3

Метод объемов

Решение.

1.Рассмотрим пирамиду

2. По теореме Пифагора

3. Рассмотрим пирамиду

По определению

Решение.

Так как в основании призмы лежит

квадрат, то АВ=. Из CB₁В B₁C=.

Сделаем дополнительные построения BK B₁C , KM AB, EM BK .

Так как KM AB DC , то EM MK (EM перпендикуляр к плоскости DВ₁C). Легко видеть, что EM – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым АB и B₁D, причём EM= BK. Площадь треугольника BB₁C S _BB1C =BB₁ *BC =BK*B₁C Тогда BK===3.

EM=3.

Метод координат

Решение.

Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке.

A(0;0;0) B(0; ;0) C(;0) D(0;0)

(0;0;3) (0; ;3) ;) (0;)

Плоскость (А1ВС); ах+ву+сz=d

c=

a=0

(A1BC): y+z=d

3y+z=3

ñ (0 ;3 ;1) вектор нормали к(АВС)

‖‖

F(0;3k;k)

Прямая (АВ) ==;

==;

m=0,9.

;

;

=