Правильные многогранники

Эпиграф

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэрролл

Задачи урока:

• Обучающие:

• Ввести понятие правильного многогранника ;
• Рассмотреть свойств о правильных многогранников ;

2. Развивающие:

• Формирование пространственных представлений ;
• Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности;

3. Воспитательные:

• Воспитание эстетического чувства ;
• Формирование интереса к предмету.

Мозговая атака

многогранник

правильный

рёбра

грани

выпуклый

вершины

многоугольник

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции

«тетра» «гекса» «окта» «икоса» «додека»

4 6 8 20 12

«эдра» - грань

4

• Какое тело носит имя Хеопса?
• Что представляет собой боковая грань пирамиды?
• Как называется правильный четырехугольник?
• Наука об измерении земли?
• У пятиугольника их пять
• У любой призмы их два

4

4

Согласно философии Платона

огонь

тетраэдр

вода

икосаэдр

воздух

октаэдр

земля

гексаэдр

вселенная

додекаэдр

Иоганн Кеплер

(1571-1630 )

«Космический кубок»

немецкий астроном и

математик

Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани – равные правильные многоугольники, в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер и все его двугранные углы равны.

Название

Изображение

Число граней

Тетраэдр

Число вершин

Гексаэдр (куб)

Октаэдр

Число рёбер

Икосаэдр

Форма грани

Додекаэдр

Число граней, сходящихся в одной вершине

Проверь себя

Название

Изображение

Тетраэдр

Число граней

4

Гексаэдр (куб)

Число вершин

Октаэдр

6

4

Число рёбер

Икосаэдр

8

8

6

Форма грани

Додекаэдр

20

6

12

Число граней, сходящихся в одной вершине

Равносторонний треугольник

12

12

12

Квадрат

3

30

20

3

Равносторонний треугольник

30

Равносторонний треугольник

4

Правильные пятиугольники

5

3

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n – угольники при n больше 5.

Теорема Эйлера

Теорема о числе граней, вершин и рёбер

выпуклого многогранника – 1755 год

Число вершин плюс число граней минус число рёбер равно двум.            

Леонард Эйлер (1707 – 1783 гг.) немецкий математик и физик

В + Г – Р = 2

Задача: Определите количество граней, вершин и рёбер многогранники, изображенного на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника

Решение:

Г=12

В=10

Р=20

10+12 - 20=2

Правильные многогранники в других науках

Тетраэдр

Строение молекулы метана, к ристаллы белого фосфора , кристалл сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Уголковый отражатель — устройство в виде тетраэдра. Излучение, попавшее в уголковый отражатель, отражается в строго обратном направлении. Используется:

• для точного измерения расстояний (топографическая съемка, строительстве);
• для возврата излучения точно назад (катафот).

Мало того, молекулы воды тоже имеют форму тетраэдра.

Тетраэдр в быту

Картонная упаковка в форме тетраэдра для хранения молока, созданная в 1950 году компанией Tetra Pak.

Существуют головоломки в виде тетраэдра.

Гексаэдр (куб)

Форму  куба имеют кристаллические решётки многих металлов

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

Октаэдр

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму октаэдра. Правильная форма алмаза -

Октаэдр.

Икосаэдр

Икосаэдр отличился тем, что его форму сочли для себя удобной живые существа.

Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи .

16

Вирусам важно подчинить себе организм, в котором они паразитируют. Для этого требуется огромное наличие различных ферментов, однако размеры вируса ограничены. В таких условиях сформировалась икосаэдрическая форма, когда при наибольшем объёме имеется наименьшая площадь поверхности.

Вирус бактериофага

Додекаэдр

Вирус полиомиелита имеет

форму додекаэдра.

кристалл пирита (сернистый колчедан), используется для получения особых сортов цемента— природная модель додекаэдра

Додекаэдр в искусстве

Художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в гравюре «Меланхолия»

На переднем плане изобразил додекаэдр.  

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра

Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел:

Протозою - тетраэдр (четыре плиты), Палеозою - гексаэдр (шесть плит) ,Мезозою - октаэдр (восемь плит) ,

Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).

Икосаэдро - додекаэдровая

структура Земли

Существует гипотеза, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, имеют икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли.

24

Тест по теме «Правильные многогранники»

1.Сколько существует видов правильных многогранников?

а) 4; б) бесконечное множество; в) 5; г) 10

2.Как называются правильные многогранники?

а) тела Евклида; в) тела Пифагора;

б) тела Эйлера; г) тела Платона

3.Из скольких правильных треугольников составлен октаэдр?

а) 8; б) 12; в) 6; г) 20

4. Каждая вершина додекаэдра является вершиной…

а) трёх правильных шестиугольников ;

б) трёх квадратов ;

в) трёх правильных пятиугольников ;

г) пяти правильных треугольников

5.Чему равен периметр октаэдра, если его ребро равно а ?

а) 8а; б) 20а; в) 12а; г) 6а

24

ОТВЕТЫ теста по теме «Правильные многогранники»

1. Сколько существует видов правильных многогранников?

в) 5

2. Как называются правильные многогранники?

г) тела Платона

3. Из скольких правильных треугольников составлен октаэдр?

а)8

4. Каждая вершина додекаэдра является вершиной…

в) трёх правильных пятиугольников

5. Чему равен периметр октаэдра, если его ребро равно а?

в) 12а

24

Тест «Узнай фигуру»

1

3

2

4

1.Тетраэдр

2.Куб

3.Октаэдр

4.Икосаэдр

5.Додекаэдр

5

Составление синквейна

1. первая строка – тема, выраженная ОДНИМ словом, обычно именем существительным;

2.вторая строка – описание темы в ДВУХ словах, как правило, именами прилагательными;

3.третья строка – описание действия в рамках этой темы ТРЕМЯ словами, обычно глаголами;

4.четвертая строка – фраза из ЧЕТЫРЕХ слов, выражающая отношение автора к данной теме;

5.пятая строка – ОДНО слово – синоним к первому, на эмоционально-образном или философско-обобщенном уровне повторяющее суть темы.

28

Синквейн

Многогранник

Выпуклый, правильный

Строит, измеряет, восхищает

Поверхность, составленная из многоугольников

Совершенство

Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию.

Ян Амос Коменский

• С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились?

• Почему Л. Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников?

28

Спасибо за внимание!