Понятие функции. Способы задания функции. Свойства функции.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42
Рыбина М.В.
Введение
Функция - одно из важнейших понятий математики, она даёт возможность исследовать и моделировать не только состояния, но и процессы. Исследование процессов и явлений с помощью функций — один из основных методов современной науки. Вы будете изучать функции во всех последующих классах и в высших учебных заведениях.
- Мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда значение одной переменной зависит от значения другой. Рассмотрим примеры подобных ситуаций.
- При пешей прогулке пройденное расстояние зависит от времени прогулки.
- Площадь квадрата зависит от длины его стороны.
- Урожайность помидоров в теплице зависит от количества воды, которой их поливали во время роста.
- В каждом из этих примеров есть независимая переменная, которая может менять своё значение (время прогулки, длина стороны, количество воды), и зависимая от неё переменная (пройденное расстояние, площадь, урожайность).
Определения
Функцией или функциональной зависимостью называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.
y – зависимая переменная или функция , x – независимая переменная или аргумент.
Обозначения
Проверь себя!
Какие из соответствий являются функциями, а какие нет и почему?
Ответ: а, б – являются; в, г – не являются
Способы задания функции
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения.
Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — самый наглядный. На графике сразу видно возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Пример 1
Найдите значение функции y(x) = 3x + 5 при x = 0; x = 5; x = -3; x = 1,4; x =
Решение
y(0) = 3 0 + 5 = 5
y(5) = 3 5 + 5 = 20
y(-3) = 3 (-3) + 5 = -4
y(1,4) = 3 1,4 + 5 = 9,2
y() = 3 + 5 = 7,5
Ответ: y(0) = 5, y(5) = 20, y(-3) = -4, y(1,4) = 9,2, y() = 7,5
Пример 2
Найдите значение аргумента при котором значение функции
y(x) = 7 - 2x равно 1.
Решение
7 - 2x = 1,
-2х = -6,
х = -6:(-2)
х = 3
Ответ: y(x) = 1 при х = 3
Пример 3
При табличном способе задания функции в одной строке таблицы записывают значения аргумента, а в другой — соответствующее каждому аргументу значение функции.
Некоторая функция задана таблицей значений аргумента и значений функции:
Данные таблицы означают, что у(-1) = -2, у(0) = 0, у(1) = 2, у(2) = 4, у(3) = 6
x
y
-1
0
-2
0
1
2
2
4
3
6
Пример 4
С помощью графиков можно описать функции, которые сложно задать формулой. Например, функцию значения температуры воздуха в зависимости от времени суток, график этой функции (зависимости) представлен на рисунке. При помощи графика ответьте на вопросы:
- Какая температура была в 6 часов, в 12 часов, в 22 часа?
- В какое время температура воздуха равнялась -1 С, 3 С, 4 С, 0 С?
Пример 5
Проверь себя!
Каждому натуральному числу m ставится в соответствие остаток x от деления этого числа на 6. Найдите x , если m = 19
Проверь себя!
Каждому натуральному числу m ставится в соответствие остаток x от деления этого числа на 6. Найдите x , если m = 53.
Ответ: 5
Проверь себя!
Каждому натуральному числу m ставится в соответствие остаток x от деления этого числа на 6. Найдите x , если m = 34
Ответ: 4
Проверь себя!
В таблице показана средняя зависимость изменения роста, массы тела и площади поверхности тела для мужчин и женщин в зависимости от возрастного периода. Опираясь на эти данные, какая будет средняя масса тела в 19 лет у мужчины?
Ответ: 70,2 кг
Проверь себя!
В таблице показана средняя зависимость изменения роста, массы тела и площади поверхности тела для мужчин и женщин в зависимости от возрастного периода. Опираясь на эти данные, какая будет площадь поверхности тела у женщины в 50 лет?
Ответ: 16000
Проверь себя!
В таблице показана средняя зависимость изменения роста, массы тела и площади поверхности тела для мужчин и женщин в зависимости от возрастного периода. Опираясь на эти данные, какая будет средняя масса тела в 19 лет у женщины?
Ответ: 57,1 кг
Проверь себя!
В таблице показана средняя зависимость изменения роста, массы тела и площади поверхности тела для мужчин и женщин в зависимости от возрастного периода. Опираясь на эти данные, в каком возрасте средний рост у женщины будет составлять 162,7 см?
Ответ: 22 года
Задание 1
Функция задана формулой y(x) = 2x – 5. Найдите:
1) значение функции при x = 0; x = 2; x = -4;
2) значение аргумента при котором значение функции равно 7; 0; -10
Задание 2
Найдите область определения функций:
1) у(х) = ; 8) у(х) = ;
2) у(х) = ; 9) у(х) = ;
3) у(х) = ; 10) у(х) =
4) у(х) = ;
5) у(х) = ;
6) у(х) = ;
7) у(х) = ;
Задание 3
На рисунке дан график функции y = g(x). С помощью графика найдите:
- Область определения функции;
- Множество значений функции;
- g(-4), g(-1), g(1), g(5);
- Значения х, при которых g(x) = 4, g(x) = -4, g(x) = 0;
- Наибольшее и наименьшее значение функции.
Рефлексия
Домашнее задание
Выучить определения конспекта
Выполнить в тетради:
Использованные источники:
https://resh.edu.ru/subject/lesson/1338/
https://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-funkciya
https://foxford.ru/wiki/matematika/ponyatie-funkcii-i-sposoby-ee-zadaniya
https://www.evkova.org/funktsiya