Геометрия 8 класс Тема: Удвоение медианы. Центральная симметрия.
Автор презентации:
Попов дмитрий сергеевич
Сегодня мы познакомимся с методом удвоения медианы, узнаем определение центральной симметрии.
ВСПОМНИ!
Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией .
- Что называют основанием трапеции, а какие стороны называют боковыми?
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные стороны – боковыми сторонами.
- Какую трапецию называют прямоугольной?
Если один из углов трапеции прямой, то она называется прямоугольной.
- Какую трапецию называют равнобокой?
Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной трапецией (равнобокой).
Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM.
В
А М С
Удвоим эту медиану, т.е. проведем отрезок MD: MD=BM.
В
А М С
D
Получили параллелограмм ABCD (по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам).
В
А М С
D
В ряде задач с этим параллелограммом очень удобно работать.
ABCD – ромб = AB=BC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. Что и требовалось доказать. " width="640"
Теорема: Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.
В
А М С
D
Доказательство:
Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM, которая совпадает с высотой. Продлим медиану: MD=BM. Четырехугольник ABCD – параллелограмм (AM=MC, т.к. BM – медиана, BM=MD (по построению)).
С другой стороны, у него перпендикулярны диагонали. = ABCD – ромб = AB=BC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Теорема: Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине его гипотенузы.
В
А M С
D
Доказательство:
Удвоив медиану ВМ, продлив её за точку М. АВСD – параллелограмм (по признаку).
C другой стороны, в этом параллелограмме , следовательно АВСD – прямоугольник. Значит СМ = АМ = ВМ = МD. АМ = АС.
Решим задачу 1: Дан треугольник ABC, в котором сторона AB равна 10, сторона AC=16, а медиана AM=5. Найти площадь треугольника ABC.
Решение:
При удвоении медианы получаем точку D: AD=2AM=10.
Получили параллелограмм BACD, в котором нам известны стороны AB=CD=10, AC=BD=16.
Продолжение решения задачи 1
Рассмотрим треугольник BAD. В этом треугольнике мы знаем все 3 стороны: 10, 10, 16.
Получился равнобедренный треугольник.
Проведём высоту АН. По теореме Пифагора АН = 36.
S BAD = · BD · AH = · 16 · 6 = 48.
S ABCD = · S ABD = · S ABC S ABC = S ABD = 48.
Cделаем вывод:
Если в задаче дана медиана, то очень часто полезно ее удвоить, чтобы свести задачу к параллелограмму, ромбу или прямоугольнику, с помощью чего можно решать ряд задач.
Центральная симметрия
Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:
Центральной симметрие й называется симметрия относительно точки.
На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии.
Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.
Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.
Пример 1: Постройте треугольник A 1 B 1 C 1 , симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).
АЛГОРИТМ ДЕЙСТВИЙ
- Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
- Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
- Получившиеся точки соединяем отрезками A 1 B 1 A 1 C 1 B 1 C 1 .
- Получаем треугольник A 1 B 1 C 1 , симметричный треугольнику ABC, относительно центра.
Пример 2: Построить отрезок A 1 B 1 , симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).
АЛГОРИТМ ДЕЙСТВИЙ
1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А 1 О и B 1 О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A 1 и B 1 и получаем отрезок A 1 B 1 , симметричный данному.
Задачи для классной работы:
1. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника.
2. Медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40° и 70°. Докажите, что эта медиана равна половине одной из них.
3. В треугольнике ABC проведена медиана BM . Найдите BC, если BAC = 30°, а BMC =45°.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M — середина стороны AD.
Постройте фигуры, симметричные данным относительно точки О.
Домашнее задание
- Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к ней, равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15º.
- Известно, что BMC = 90◦. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.
- Постройте фигуры, симметричные данным относительно точки О.
Использованные источники:
- https://multiurok.ru/files/praktichieskaia-rabota-po-tiemie-tsientral-naia-i-.html
- https://yandex.ru/video/preview/10270951172070887587
- https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/udvoenie-mediany
- https://skysmart.ru/articles/mathematic/osevaya-i-centralnaya-simmetriya
- https://drive.google.com/drive/folders/1xIzzlOUxFTs7161-IwoKiUdl5R9fsECT